Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Unicode version

Theorem hdmapval3lemN 32323
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 
E. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval3.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval3.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval3.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval3.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval3.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval3.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval3.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval3.te  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
hdmapval3lem.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
hdmapval3lem.x  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
hdmapval3lem.xn  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmapval3.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmapval3.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2404 . . 3  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
5 hdmapval3.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 hdmapval3.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 hdmapval3.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
8 eqid 2404 . . 3  |-  ( LSpan `  C )  =  (
LSpan `  C )
9 eqid 2404 . . 3  |-  ( (mapd `  K ) `  W
)  =  ( (mapd `  K ) `  W
)
10 hdmapval3.i . . 3  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
11 hdmapval3.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
13 hdmapval3.j . . . . . 6  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
14 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
15 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
16 hdmapval3.e . . . . . . 7  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 31595 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 32249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
1918eldifad 3292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  D )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 32252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { E } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( J `  E ) } ) )
211, 2, 11dvhlvec 31592 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
2317eldifad 3292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
2524eldifad 3292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 16159 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { x } )  =/=  ( N `  { E } )  /\  ( N `  { x } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
2827simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2928necomd 2650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  =/=  ( N `  { x } ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 32288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )  e.  D )
31 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. )
)
32 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
33 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
34 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 11dvhlmod 31593 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 16009 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
373, 4, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 15983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 32285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. )  =  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. )  <-> 
( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } )  /\  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { ( E (
-g `  U )
x ) } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( ( J `
 E ) (
-g `  C )
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. ) ) } ) ) ) )
3931, 38mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } )  /\  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { ( E (
-g `  U )
x ) } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( ( J `
 E ) (
-g `  C )
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  x >. ) ) } ) ) )
4039simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (mapd `  K ) `  W
) `  ( N `  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  C ) `  { ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) } ) )
41 hdmapval3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
4241necomd 2650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  =/=  ( N `  { T } ) )
43 hdmapval3.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 16028 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ( N `
 { E ,  T } ) )
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 16027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { E } )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
4645, 45unssd 3483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { E } ) )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
4746, 26ssneldd 3311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { E } ) ) )
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 32318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( I `
 <. x ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. ) ,  E >. )
)
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 32321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  E
)  =  ( J `
 E ) )
5048, 49eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. x ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) ,  E >. )  =  ( J `
 E ) )
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 16029 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { E ,  T } ) )
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 16027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
5345, 52unssd 3483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  C_  ( N `  { E ,  T } ) )
5453, 26ssneldd 3311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 32318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. x ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  x >. ) ,  T >. )
)
5655eqcomd 2409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. x ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  x >. ) ,  T >. )  =  ( S `
 T ) )
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 32290 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )  =  ( S `
 T ) )
5857eqcomd 2409 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    \ cdif 3277    u. cun 3278   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   <.cotp 3778    _I cid 4453    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   0gc0g 13678   -gcsg 14643   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   DVecHcdvh 31561  LCDualclcd 32069  mapdcmpd 32107  HVMapchvm 32239  HDMap1chdma1 32275  HDMapchdma 32276
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  32324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108  df-hvmap 32240  df-hdmap1 32277  df-hdmap 32278
  Copyright terms: Public domain W3C validator