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Theorem heibor 25944
Description: Generalized Heine-Borel Theorem. A metric space is compact iff it is complete and totally bounded. See heibor1 25933 and heiborlem1 25934 for a description of the proof. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Dummy variables  t  n  y  k  r  u  m  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem heibor
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21heibor1 25933 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
3 cmetmet 18706 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43adantr 453 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 17893 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
61mopntop 17980 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
73, 5, 63syl 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  J  e.  Top )
87adantr 453 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Top )
9 istotbnd 25892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
109simprbi 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. r  e.  RR+  E. u  e. 
Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
11 2nn 9872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
12 nnexpcl 11110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1311, 12mpan 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
1413nnrpd 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR+ )
1514rpreccld 10395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
1716eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) r )  <->  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1817rexbidv 2565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r )  <->  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2019anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) r ) )  <->  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2120rexbidv 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) r ) )  <->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
2221rspccva 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y
( ball `  D )
r ) )  /\  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
2310, 15, 22syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( TotBnd `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2423expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
2524adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
26 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2726eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
2827ac6sfi 7096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )
2928adantrl 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3029adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. m
( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
31 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  m : u --> X )
32 frn 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m : u --> X  ->  ran  m  C_  X )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  X
)
341mopnuni 17981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
353, 5, 343syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  U. J )
3635adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  X  =  U. J )
37363ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
3833, 37sseqtrd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  C_  U. J
)
39 fvex 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( MetOpen `  D )  e.  _V
401, 39eqeltri 2354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  e. 
_V
4140uniex 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  e.  _V
4241elpw2 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ran  m  e.  ~P U. J 
<->  ran  m  C_  U. J
)
4338, 42sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ~P U. J )
44 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  u  e.  Fin )
45 ffn 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m : u --> X  ->  m  Fn  u )
46 dffn4 5422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  Fn  u  <->  m :
u -onto-> ran  m )
4745, 46sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m : u --> X  ->  m : u -onto-> ran  m
)
48 fofi 7137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u -onto-> ran  m
)  ->  ran  m  e. 
Fin )
4947, 48sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  m : u --> X )  ->  ran  m  e.  Fin )
5044, 31, 49syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  Fin )
51 elin 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  m  e.  ( ~P
U. J  i^i  Fin ) 
<->  ( ran  m  e. 
~P U. J  /\  ran  m  e.  Fin )
)
5243, 50, 51sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
5326eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( m `  v )  ->  (
r  e.  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
5453rexrn 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  Fn  u  ->  ( E. y  e.  ran  m  r  e.  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
55 eliun 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  E. y  e.  ran  m  r  e.  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
56 eliun 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  E. v  e.  u  r  e.  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5754, 55, 563bitr4g 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  Fn  u  ->  (
r  e.  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  r  e.  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
5857eqrdv 2282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  Fn  u  ->  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  = 
U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5931, 45, 583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
60 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  u  v  =  ( (
m `  v )
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )
61 uniiun 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. u  =  U_ v  e.  u  v
62 iuneq2 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U_ v  e.  u  v  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6361, 62syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  ( ( m `  v ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  U_ v  e.  u  (
( m `  v
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
65 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  U. u  =  X )
6659, 64, 653eqtr2rd 2323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  X  =  U_ y  e.  ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
67 iuneq1 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  ran  m  ->  U_ y  e.  t 
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e. 
ran  m ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
6867eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ran  m  -> 
( X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ran  m
( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
6968rspcev 2885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  m  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  X  = 
U_ y  e.  ran  m ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
7052, 66, 69syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X )  /\  (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
71703expia 1155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  U. u  =  X ) )  -> 
( ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7271adantrrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( (
m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7372exlimdv 1665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( E. m ( m : u --> X  /\  A. v  e.  u  v  =  ( ( m `
 v ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7430, 73mpd 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  ( u  e. 
Fin  /\  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
7574expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  /\  u  e.  Fin )  ->  ( ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7675rexlimdva 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. u  e.  Fin  ( U. u  =  X  /\  A. v  e.  u  E. y  e.  X  v  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7725, 76syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
7877ralrimdva 2634 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P
U. J  i^i  Fin ) X  =  U_ y  e.  t  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
7941pwex 4192 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. J  e.  _V
8079inex1 4156 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  e.  _V
81 nn0ennn 11035 . . . . . . . . 9  |-  NN0  ~~  NN
82 nnenom 11036 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
8381, 82entri 6910 . . . . . . . 8  |-  NN0  ~~  om
84 iuneq1 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  U_ y  e.  t  ( y
( ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
8584eqeq2d 2295 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( m `  n )  ->  ( X  =  U_ y  e.  t  ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8680, 83, 85axcc4 8060 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN0  E. t  e.  ( ~P U. J  i^i  Fin ) X  = 
U_ y  e.  t  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
8778, 86syl6 31 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  E. m ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
88 elpwi 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ~P J  -> 
r  C_  J )
89 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v }  =  {
u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) u 
C_  U. v }
90 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }  =  { <. t ,  k >.  |  ( k  e.  NN0  /\  t  e.  ( m `  k )  /\  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k )  e.  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) u  C_  U. v } ) }
91 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) )  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
92 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
9335pweqd 3631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ~P X  =  ~P U. J )
9493ineq1d 3370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
95 feq3 5342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P X  i^i  Fin )  =  ( ~P U. J  i^i  Fin )  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) 
<->  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) ) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  <->  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) ) )
9796biimpar 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) )
9897adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  m : NN0
--> ( ~P X  i^i  Fin ) )
99 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  y  ->  (
t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
10099cbviunv 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n )
101 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  ->  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )
102 inss1 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ~P
U. J  i^i  Fin )  C_  ~P U. J
103102, 93syl5sseqr 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_ 
~P X )
104 fss 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  ( ~P U. J  i^i  Fin )  C_  ~P X )  ->  m : NN0 --> ~P X )
105101, 103, 104syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  m : NN0 --> ~P X )
106 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m : NN0 --> ~P X  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( m `  n )  e.  ~P X )
107105, 106sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  e.  ~P X )
108 elpwi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m `  n )  e.  ~P X  -> 
( m `  n
)  C_  X )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
m `  n )  C_  X )
110109sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
y  e.  X )
111 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
112 oveq1 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  y  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
113 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  n  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ n ) )
114113oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )
115114oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
116 ovex 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
117112, 115, 91, 116ovmpt2 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  X  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
118110, 111, 117syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  m : NN0
--> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  y  e.  ( m `  n ) )  -> 
( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
119118iuneq2dv 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
120100, 119syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
121120eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ y  e.  ( m `
 n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )
122121biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X  =  U_ y  e.  ( m `  n
) ( y (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n ) ) )
123122ralimdva 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin ) )  ->  ( A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n ) ) )
124123impr 604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
125 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
m `  n )  =  ( m `  k ) )
126125iuneq1d 3929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) n ) )
127 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  ->  n  =  k )
128127oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  =  k  /\  t  e.  ( m `  k ) )  -> 
( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  =  ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
129128iuneq2dv 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
130126, 129eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
131130eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( X  =  U_ t  e.  ( m `  n
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) n )  <->  X  =  U_ t  e.  ( m `
 k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e. 
NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) k ) ) )
132131cbvralv 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN0  X  = 
U_ t  e.  ( m `  n ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ m ) ) ) ) n )  <->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k
) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) ) ) k ) )
133124, 132sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. k  e.  NN0  X  =  U_ t  e.  ( m `  k ) ( t ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) k ) )
1341, 89, 90, 91, 92, 98, 133heiborlem10 25943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  /\  ( r 
C_  J  /\  U. J  =  U. r
) )  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v )
135134exp32 590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  C_  J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
13688, 135syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  ( r  e.  ~P J  ->  ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
137136ralrimiv 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
138137ex 425 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( (
m : NN0 --> ( ~P
U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e. 
NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
139138exlimdv 1665 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( E. m ( m : NN0 --> ( ~P U. J  i^i  Fin )  /\  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( m `  n ) ( y ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
14087, 139syld 42 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( TotBnd `  X )  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i 
Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
141140imp 420 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
142 eqid 2284 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
143142iscmp 17109 . . . 4  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. r  e.  ~P  J ( U. J  =  U. r  ->  E. v  e.  ( ~P r  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) ) )
1448, 141, 143sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  J  e.  Comp )
1454, 144jca 520 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  J  e.  Comp ) )
1462, 145impbii 182 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  <->  ( D  e.  ( CMet `  X
)  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2270   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    i^i cin 3152    C_ wss 3153   ~Pcpw 3626   U.cuni 3828   U_ciun 3906   {copab 4077   omcom 4655   ran crn 4689    Fn wfn 5216   -->wf 5217   -onto->wfo 5219   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    e. cmpt2 5821   Fincfn 6858   1c1 8733    / cdiv 9418   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   RR+crp 10349   ^cexp 11098   * Metcxmt 16363   Metcme 16364   ballcbl 16365   MetOpencmopn 16366   Topctop 16625   Compccmp 17107   CMetcms 18674   TotBndctotbnd 25889
This theorem is referenced by:  rrnheibor  25960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lm 16953  df-haus 17037  df-cmp 17108  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-totbnd 25891
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