HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Unicode version

Theorem helch 22587
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch  |-  ~H  e.  CH

Proof of Theorem helch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3303 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
2 ax-hv0cl 22347 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
31, 2pm3.2i 442 . . 3  |-  ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )
4 hvaddcl 22356 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
54rgen2a 2708 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  y )  e.  ~H
6 hvmulcl 22357 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
76rgen2 2738 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  ( x  .h  y )  e.  ~H
85, 7pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  y )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  (
x  .h  y )  e.  ~H )
9 issh2 22552 . . 3  |-  ( ~H  e.  SH  <->  ( ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  ( x  .h  y )  e.  ~H ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 887 . 2  |-  ~H  e.  SH
11 vex 2895 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1211hlimveci 22533 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  x  e.  ~H )
1312adantl 453 . . 3  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
1413gen2 1553 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
15 isch2 22567 . 2  |-  ( ~H  e.  CH  <->  ( ~H  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
) )
1610, 14, 15mpbir2an 887 1  |-  ~H  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1717   A.wral 2642    C_ wss 3256   class class class wbr 4146   -->wf 5383  (class class class)co 6013   CCcc 8914   NNcn 9925   ~Hchil 22263    +h cva 22264    .h csm 22265   0hc0v 22268    ~~>v chli 22271   SHcsh 22272   CHcch 22273
This theorem is referenced by:  helsh  22588  pjhth  22736  ococ  22749  ococin  22751  pjoc1  22777  chj1i  22832  chincl  22842  chsscon3  22843  chjo  22858  chdmm1  22868  chjass  22876  hne0  22890  pjoml3  22955  osum  22988  spansnj  22990  spansncv  22996  pjch1  23013  pjo  23014  pjsslem  23022  pjcjt2  23035  pjch  23037  pjopyth  23063  pjnorm  23067  pjpyth  23068  pjnel  23069  ho0val  23094  dfiop2  23097  hoid1i  23133  hoid1ri  23134  pjtoi  23523  pjoci  23524  pjclem3  23541  hst0  23577  st0  23593  strlem3a  23596  hstrlem3a  23604  stcltr2i  23619  cvmd  23680  chrelat2  23714  cvexch  23718  mdsym  23756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-hilex 22343  ax-hfvadd 22344  ax-hv0cl 22347  ax-hfvmul 22349
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-map 6949  df-nn 9926  df-hlim 22316  df-sh 22550  df-ch 22565
  Copyright terms: Public domain W3C validator