HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Unicode version

Theorem helch 22703
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch  |-  ~H  e.  CH

Proof of Theorem helch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3331 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
2 ax-hv0cl 22463 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
31, 2pm3.2i 442 . . 3  |-  ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )
4 hvaddcl 22472 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
54rgen2a 2736 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  y )  e.  ~H
6 hvmulcl 22473 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
76rgen2 2766 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  ( x  .h  y )  e.  ~H
85, 7pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  y )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  (
x  .h  y )  e.  ~H )
9 issh2 22668 . . 3  |-  ( ~H  e.  SH  <->  ( ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  ( x  .h  y )  e.  ~H ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 887 . 2  |-  ~H  e.  SH
11 vex 2923 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1211hlimveci 22649 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  x  e.  ~H )
1312adantl 453 . . 3  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
1413gen2 1553 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
15 isch2 22683 . 2  |-  ( ~H  e.  CH  <->  ( ~H  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
) )
1610, 14, 15mpbir2an 887 1  |-  ~H  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1721   A.wral 2670    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   -->wf 5413  (class class class)co 6044   CCcc 8948   NNcn 9960   ~Hchil 22379    +h cva 22380    .h csm 22381   0hc0v 22384    ~~>v chli 22387   SHcsh 22388   CHcch 22389
This theorem is referenced by:  helsh  22704  pjhth  22852  ococ  22865  ococin  22867  pjoc1  22893  chj1i  22948  chincl  22958  chsscon3  22959  chjo  22974  chdmm1  22984  chjass  22992  hne0  23006  pjoml3  23071  osum  23104  spansnj  23106  spansncv  23112  pjch1  23129  pjo  23130  pjsslem  23138  pjcjt2  23151  pjch  23153  pjopyth  23179  pjnorm  23183  pjpyth  23184  pjnel  23185  ho0val  23210  dfiop2  23213  hoid1i  23249  hoid1ri  23250  pjtoi  23639  pjoci  23640  pjclem3  23657  hst0  23693  st0  23709  strlem3a  23712  hstrlem3a  23720  stcltr2i  23735  cvmd  23796  chrelat2  23830  cvexch  23834  mdsym  23872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hv0cl 22463  ax-hfvmul 22465
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-map 6983  df-nn 9961  df-hlim 22432  df-sh 22666  df-ch 22681
  Copyright terms: Public domain W3C validator