HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Unicode version

Theorem helch 21783
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch  |-  ~H  e.  CH

Proof of Theorem helch
StepHypRef Expression
1 ssid 3172 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
2 ax-hv0cl 21543 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
31, 2pm3.2i 443 . . 3  |-  ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )
4 hvaddcl 21552 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
54rgen2a 2584 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  y )  e.  ~H
6 hvmulcl 21553 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
76rgen2 2614 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  ( x  .h  y )  e.  ~H
85, 7pm3.2i 443 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  y )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  (
x  .h  y )  e.  ~H )
9 issh2 21748 . . 3  |-  ( ~H  e.  SH  <->  ( ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  ( x  .h  y )  e.  ~H ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 891 . 2  |-  ~H  e.  SH
11 vex 2766 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1211hlimveci 21729 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  x  e.  ~H )
1312adantl 454 . . 3  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
1413gen2 1541 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
15 isch2 21763 . 2  |-  ( ~H  e.  CH  <->  ( ~H  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
) )
1610, 14, 15mpbir2an 891 1  |-  ~H  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1621   A.wral 2518    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   -->wf 4669  (class class class)co 5792   CCcc 8703   NNcn 9714   ~Hchil 21459    +h cva 21460    .h csm 21461   0hc0v 21464    ~~>v chli 21467   SHcsh 21468   CHcch 21469
This theorem is referenced by:  helsh  21784  pjhth  21932  ococ  21945  ococin  21947  pjoc1  21973  chj1i  22028  chincl  22038  chsscon3  22039  chjo  22054  chdmm1  22064  chjass  22072  hne0  22086  pjoml3  22151  osum  22184  spansnj  22186  spansncv  22192  pjch1  22209  pjo  22210  pjsslem  22218  pjcjt2  22231  pjch  22233  pjopyth  22259  pjnorm  22263  pjpyth  22264  pjnel  22265  ho0val  22290  dfiop2  22293  hoid1i  22329  hoid1ri  22330  pjtoi  22719  pjoci  22720  pjclem3  22737  hst0  22773  st0  22789  strlem3a  22792  hstrlem3a  22800  stcltr2i  22815  cvmd  22876  chrelat2  22910  cvexch  22914  mdsym  22952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-hilex 21539  ax-hfvadd 21540  ax-hv0cl 21543  ax-hfvmul 21545
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-map 6742  df-n 9715  df-hlim 21512  df-sh 21746  df-ch 21761
  Copyright terms: Public domain W3C validator