Theorem helch 9071

Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
helch	|- H~ e. CH

Proof of Theorem helch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 9048	. 2 |- (H~ e. CH <-> (H~ e. SH /\ A.fA.x((f:NN-->H~ /\ f ~~>v x) -> x e. H~)))
2		sh 9033	. . 3 |- (H~ e. SH <-> ((H~ (_ H~ /\ 0h e. H~) /\ (A.x e. H~ A.y e. H~ (x +h y) e. H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ (x .h y) e. H~)))
3		ssid 2077	. . . 4 |- H~ (_ H~
4		ax-hv0cl 8828	. . . 4 |- 0h e. H~
5	3, 4	pm3.2i 285	. . 3 |- (H~ (_ H~ /\ 0h e. H~)
6		hvaddclt 8837	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
7	6	rgen2a 1697	. . . 4 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (x +h y) e. H~
8		hvmulclt 8838	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
9	8	rgen2 1721	. . . 4 |- A.x e. CC A.y e. H~ (x .h y) e. H~
10	7, 9	pm3.2i 285	. . 3 |- (A.x e. H~ A.y e. H~ (x +h y) e. H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ (x .h y) e. H~)
11	2, 5, 10	mpbir2an 729	. 2 |- H~ e. SH
12		visset 1810	. . . . 5 |- f e. V
13		visset 1810	. . . . 5 |- x e. V
14	12, 13	hlimvec 9013	. . . 4 |- (f ~~>v x -> x e. H~)
15	14	adantl 388	. . 3 |- ((f:NN-->H~ /\ f ~~>v x) -> x e. H~)
16	15	gen2 982	. 2 |- A.fA.x((f:NN-->H~ /\ f ~~>v x) -> x e. H~)
17	1, 11, 16	mpbir2an 729	1 |- H~ e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   e. wcel 957  A.wral 1643   (_ wss 2044   class class class wbr 2615  -->wf 3174  (class class class)co 3958  CCcc 5215  NNcn 5279  H~chil 8743   +h cva 8744   .h csm 8745  0hc0v 8746   ~~>v chli 8751  SHcsh 8752  CHcch 8753

This theorem is referenced by:  helsh 9072  pjtht 9189  pjtheut 9191  ococt 9203  axpjpjt 9211  pjoc1t 9222  ococint 9252  hsupval2t 9255  shlubt 9309  chj1 9367  chinclt 9377  chsscon3t 9378  chjot 9393  chdmm1t 9403  chjasst 9411  hne0 9425  pjoml3t 9512  osumt 9545  spansnjt 9549  spansncvt 9555  pjch1t 9572  pjot 9573  pjsslem 9581  pjcjt2 9594  pjcht 9596  pjopytht 9622  pjnormt 9626  pjpytht 9627  pjnelt 9628  ho0valt 9633  dfiop2 9636  hoid1 9672  hoid1r 9673  pjtot 10063  pjoc 10064  pjclem3 10081  hst0t 10116  st0 10132  strlem3a 10135  hstrlem3a 10143  stcltr2 10158  cvmdt 10219  chrelat2t 10253  cvexcht 10257  mdsymt 10295

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hv0cl 8828  ax-hfvmul 8830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-opr 3960  df-hlim 8796  df-sh 9031  df-ch 9047

Copyright terms: Public domain