HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Unicode version

Theorem helch 21815
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch  |-  ~H  e.  CH

Proof of Theorem helch
StepHypRef Expression
1 ssid 3198 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
2 ax-hv0cl 21575 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
31, 2pm3.2i 443 . . 3  |-  ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )
4 hvaddcl 21584 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
54rgen2a 2610 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  y )  e.  ~H
6 hvmulcl 21585 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
76rgen2 2640 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  ( x  .h  y )  e.  ~H
85, 7pm3.2i 443 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  y )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  (
x  .h  y )  e.  ~H )
9 issh2 21780 . . 3  |-  ( ~H  e.  SH  <->  ( ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  ( x  .h  y )  e.  ~H ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 891 . 2  |-  ~H  e.  SH
11 vex 2792 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1211hlimveci 21761 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  x  e.  ~H )
1312adantl 454 . . 3  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
1413gen2 1539 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
15 isch2 21795 . 2  |-  ( ~H  e.  CH  <->  ( ~H  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
) )
1610, 14, 15mpbir2an 891 1  |-  ~H  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532    e. wcel 1688   A.wral 2544    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   -->wf 5217  (class class class)co 5819   CCcc 8730   NNcn 9741   ~Hchil 21491    +h cva 21492    .h csm 21493   0hc0v 21496    ~~>v chli 21499   SHcsh 21500   CHcch 21501
This theorem is referenced by:  helsh  21816  pjhth  21964  ococ  21977  ococin  21979  pjoc1  22005  chj1i  22060  chincl  22070  chsscon3  22071  chjo  22086  chdmm1  22096  chjass  22104  hne0  22118  pjoml3  22183  osum  22216  spansnj  22218  spansncv  22224  pjch1  22241  pjo  22242  pjsslem  22250  pjcjt2  22263  pjch  22265  pjopyth  22291  pjnorm  22295  pjpyth  22296  pjnel  22297  ho0val  22322  dfiop2  22325  hoid1i  22361  hoid1ri  22362  pjtoi  22751  pjoci  22752  pjclem3  22769  hst0  22805  st0  22821  strlem3a  22824  hstrlem3a  22832  stcltr2i  22847  cvmd  22908  chrelat2  22942  cvexch  22946  mdsym  22984
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hv0cl 21575  ax-hfvmul 21577
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-map 6769  df-nn 9742  df-hlim 21544  df-sh 21778  df-ch 21793
  Copyright terms: Public domain W3C validator