Theorem hfmvalt 9522

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
hfmvalt	|- ((A e. CC /\ T:H~-->CC /\ B e. H~) -> ((A .fn T)` B) = (A x. (T` B)))

Proof of Theorem hfmvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfmmvalt 9515	. . . 4 |- ((A e. CC /\ T:H~-->CC) -> (A .fn T) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A x. (T` x)))})
2	1	fveq1d 3726	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->CC) -> ((A .fn T)` B) = ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A x. (T` x)))}` B))
3		fveq2 3724	. . . . 5 |- (x = B -> (T` x) = (T` B))
4	3	opreq2d 3976	. . . 4 |- (x = B -> (A x. (T` x)) = (A x. (T` B)))
5		eqid 1475	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A x. (T` x)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A x. (T` x)))}
6		oprex 3983	. . . 4 |- (A x. (T` B)) e. V
7	4, 5, 6	fvopab4 3780	. . 3 |- (B e. H~ -> ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A x. (T` x)))}` B) = (A x. (T` B)))
8	2, 7	sylan9eq 1527	. 2 |- (((A e. CC /\ T:H~-->CC) /\ B e. H~) -> ((A .fn T)` B) = (A x. (T` B)))
9	8	3impa 828	1 |- ((A e. CC /\ T:H~-->CC /\ B e. H~) -> ((A .fn T)` B) = (A x. (T` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   x. cmul 5239  H~chil 8788   .fn chft 8811

This theorem is referenced by:  kbass3t 10051

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-qs 4266  df-map 4324  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-hfmul 9510

Copyright terms: Public domain