Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmaprnN Unicode version

Theorem hgmaprnN 32433
 Description: Part of proof of part 16 in [Baer] p. 50 line 23, Fs=G, except that we use the original vector space scalars for the range. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmaprn.h
hgmaprn.u
hgmaprn.r Scalar
hgmaprn.b
hgmaprn.g HGMap
hgmaprn.k
Assertion
Ref Expression
hgmaprnN

Proof of Theorem hgmaprnN
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmaprn.h . . . . 5
2 hgmaprn.u . . . . 5
3 hgmaprn.r . . . . 5 Scalar
4 hgmaprn.b . . . . 5
5 hgmaprn.g . . . . 5 HGMap
6 hgmaprn.k . . . . 5
71, 2, 3, 4, 5, 6hgmapfnN 32420 . . . 4
8 eqid 2430 . . . . . 6 LCDual LCDual
9 eqid 2430 . . . . . 6 ScalarLCDual ScalarLCDual
10 eqid 2430 . . . . . 6 ScalarLCDual ScalarLCDual
116adantr 452 . . . . . 6
12 simpr 448 . . . . . 6
131, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 5, 11, 12hgmapdcl 32422 . . . . 5 ScalarLCDual
1413ralrimiva 2776 . . . 4 ScalarLCDual
15 fnfvrnss 5882 . . . 4 ScalarLCDual ScalarLCDual
167, 14, 15syl2anc 643 . . 3 ScalarLCDual
17 eqid 2430 . . . . . 6
18 eqid 2430 . . . . . 6
19 eqid 2430 . . . . . 6
20 eqid 2430 . . . . . 6 LCDual LCDual
21 eqid 2430 . . . . . 6 LCDual LCDual
22 eqid 2430 . . . . . 6 LCDual LCDual
23 eqid 2430 . . . . . 6 HDMap HDMap
246adantr 452 . . . . . 6 ScalarLCDual
25 simpr 448 . . . . . 6 ScalarLCDual ScalarLCDual
261, 2, 17, 3, 4, 18, 19, 8, 20, 9, 10, 21, 22, 23, 5, 24, 25hgmaprnlem5N 32432 . . . . 5 ScalarLCDual
2726ex 424 . . . 4 ScalarLCDual
2827ssrdv 3341 . . 3 ScalarLCDual
2916, 28eqssd 3352 . 2 ScalarLCDual
301, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 6lcdsbase 32129 . 2 ScalarLCDual
3129, 30eqtrd 2462 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2692   wss 3307   crn 4865   wfn 5435  cfv 5440  cbs 13452  Scalarcsca 13515  cvsca 13516  c0g 13706  chlt 29879  clh 30512  cdvh 31607  LCDualclcd 32115  HDMapchdma 32322  HGMapchg 32415 This theorem is referenced by:  hgmapf1oN  32435 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-ot 3811  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-undef 6529  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-fz 11028  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-0g 13710  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-p1 14452  df-lat 14458  df-clat 14520  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-subg 14924  df-cntz 15099  df-oppg 15125  df-lsm 15253  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-dvr 15771  df-drng 15820  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-lvec 16158  df-lsatoms 29505  df-lshyp 29506  df-lcv 29548  df-lfl 29587  df-lkr 29615  df-ldual 29653  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-llines 30026  df-lplanes 30027  df-lvols 30028  df-lines 30029  df-psubsp 30031  df-pmap 30032  df-padd 30324  df-lhyp 30516  df-laut 30517  df-ldil 30632  df-ltrn 30633  df-trl 30687  df-tgrp 31271  df-tendo 31283  df-edring 31285  df-dveca 31531  df-disoa 31558  df-dvech 31608  df-dib 31668  df-dic 31702  df-dih 31758  df-doch 31877  df-djh 31924  df-lcdual 32116  df-mapd 32154  df-hvmap 32286  df-hdmap1 32323  df-hdmap 32324  df-hgmap 32416
 Copyright terms: Public domain W3C validator