Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapvs Unicode version

Theorem hgmapvs 31351
Description: Part 15 of [Baer] p. 50 line 6. Also line 15 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapvs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hgmapvs.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hgmapvs.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hgmapvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  U )
hgmapvs.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hgmapvs.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hgmapvs.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hgmapvs.e  |-  .xb  =  ( .s `  C )
hgmapvs.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hgmapvs.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hgmapvs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hgmapvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hgmapvs.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hgmapvs  |-  ( ph  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  X ) ) )
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem hgmapvs
StepHypRef Expression
1 hgmapvs.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 hgmapvs.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hgmapvs.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hgmapvs.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 hgmapvs.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  U )
6 hgmapvs.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  U )
7 hgmapvs.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 hgmapvs.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hgmapvs.e . . . . 5  |-  .xb  =  ( .s `  C )
10 hgmapvs.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hgmapvs.g . . . . 5  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
12 hgmapvs.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hgmapvs.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13hgmapval 31347 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  =  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x
) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) ) )
1514eqcomd 2289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) )
162, 3, 6, 7, 11, 12, 13hgmapcl 31349 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  e.  B )
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13hdmap14lem15 31342 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )
18 oveq1 5826 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  (
g  .xb  ( S `  x ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  x )
) )
1918eqeq2d 2295 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  (
( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  x ) ) ) )
2019ralbidv 2564 . . . . 5  |-  ( g  =  ( G `  F )  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) )  <->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) ) )
2120riota2 6322 . . . 4  |-  ( ( ( G `  F
)  e.  B  /\  E! g  e.  B  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( g 
.xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) ) )
2216, 17, 21syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  x ) )  <->  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  V  ( S `  ( F  .x.  x
) )  =  ( g  .xb  ( S `  x ) ) )  =  ( G `  F ) ) )
2315, 22mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) )
24 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( F  .x.  x )  =  ( F  .x.  X
) )
2524fveq2d 5489 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( S `  ( F  .x.  X ) ) )
26 fveq2 5485 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( S `  x )  =  ( S `  X ) )
2726oveq2d 5835 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( G `  F
)  .xb  ( S `  x ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  X )
) )
2825, 27eqeq12d 2298 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  ( F  .x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) )  <->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `  F ) 
.xb  ( S `  X ) ) ) )
2928rspcva 2883 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. x  e.  V  ( S `  ( F 
.x.  x ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  x ) ) )  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `  F )  .xb  ( S `  X )
) )
301, 23, 29syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( S `  ( F  .x.  X ) )  =  ( ( G `
 F )  .xb  ( S `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E!wreu 2546   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   iota_crio 6290   Basecbs 13142  Scalarcsca 13205   .scvsca 13206   HLchlt 28807   LHypclh 29440   DVecHcdvh 30535  LCDualclcd 31043  HDMapchdma 31250  HGMapchg 31343
This theorem is referenced by:  hgmapval0  31352  hgmapval1  31353  hgmapadd  31354  hgmapmul  31355  hgmaprnlem1N  31356  hgmap11  31362  hdmapglnm2  31371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-fal 1313  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-ot 3651  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-fz 10777  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-0g 13398  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-subg 14612  df-cntz 14787  df-oppg 14813  df-lsm 14941  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-drng 15508  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-lvec 15850  df-lsatoms 28433  df-lshyp 28434  df-lcv 28476  df-lfl 28515  df-lkr 28543  df-ldual 28581  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444  df-laut 29445  df-ldil 29560  df-ltrn 29561  df-trl 29615  df-tgrp 30199  df-tendo 30211  df-edring 30213  df-dveca 30459  df-disoa 30486  df-dvech 30536  df-dib 30596  df-dic 30630  df-dih 30686  df-doch 30805  df-djh 30852  df-lcdual 31044  df-mapd 31082  df-hvmap 31214  df-hdmap1 31251  df-hdmap 31252  df-hgmap 31344
  Copyright terms: Public domain W3C validator