Theorem hgrablkcard 10774

Description: The number of atoms incident to each block of a hypergraph is greater than zero.

Hypothesis

Ref	Expression
hgrablkne0.1	|- B = (2nd` H)

Assertion

Ref	Expression
hgrablkcard	|- (H e. HypGrph -> A.b e. B (/) e. (card` b))

Distinct variable groups:   H,b   B,b

Proof of Theorem hgrablkcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgrablkne0.1	. . . . 5 |- B = (2nd` H)
2	1	hgrablkne0 10773	. . . 4 |- (H e. HypGrph -> A.b e. B b =/= (/))
3		ra4 1694	. . . 4 |- (A.b e. B b =/= (/) -> (b e. B -> b =/= (/)))
4	2, 3	syl 10	. . 3 |- (H e. HypGrph -> (b e. B -> b =/= (/)))
5		0ex 2711	. . . . . . 7 |- (/) e. V
6		cardsdom 4837	. . . . . . 7 |- (((/) e. V /\ b e. B) -> ((card` (/)) e. (card` b) <-> (/) ~< b))
7	5, 6	mpan 695	. . . . . 6 |- (b e. B -> ((card` (/)) e. (card` b) <-> (/) ~< b))
8		card0 4823	. . . . . . 7 |- (card` (/)) = (/)
9	8	eleq1i 1537	. . . . . 6 |- ((card` (/)) e. (card` b) <-> (/) e. (card` b))
10	7, 9	syl5bbr 534	. . . . 5 |- (b e. B -> ((/) e. (card` b) <-> (/) ~< b))
11		0sdomg 4466	. . . . 5 |- (b e. B -> ((/) ~< b <-> b =/= (/)))
12	10, 11	bitrd 528	. . . 4 |- (b e. B -> ((/) e. (card` b) <-> b =/= (/)))
13	12	pm5.74i 584	. . 3 |- ((b e. B -> (/) e. (card` b)) <-> (b e. B -> b =/= (/)))
14	4, 13	sylibr 200	. 2 |- (H e. HypGrph -> (b e. B -> (/) e. (card` b)))
15	14	r19.21aiv 1713	1 |- (H e. HypGrph -> A.b e. B (/) e. (card` b))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  Vcvv 1811  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  2ndc2nd 4078   ~< csdm 4366  cardccrd 4813  HypGrphchgra 10765

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-card 4816  df-hgra 10766

Copyright terms: Public domain