HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcms Unicode version

Theorem hhcms 21774
Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcms.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhcms.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
hhcms  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem hhcms
StepHypRef Expression
1 eqid 2284 . 2  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
2 hhcms.1 . . 3  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
3 hhcms.2 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
42, 3hhmet 21745 . 2  |-  D  e.  ( Met `  ~H )
52, 3hhcau 21769 . . . . . 6  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
65eleq2i 2348 . . . . 5  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) ) )
7 elin 3359 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
8 ax-hilex 21571 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
9 nnex 9747 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
108, 9elmap 6791 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  f : NN --> ~H )
1110anbi2i 677 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  /\  f : NN
--> ~H ) )
127, 11bitri 242 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
136, 12bitri 242 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
14 ax-hcompl 21773 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
1513, 14sylbir 206 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
162, 3, 1hhlm 21770 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1716breqi 4030 . . . . . 6  |-  ( f 
~~>v  x  <->  f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x )
18 vex 2792 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1918brres 4960 . . . . . 6  |-  ( f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x  <->  ( f
( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2017, 19bitri 242 . . . . 5  |-  ( f 
~~>v  x  <->  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
21 vex 2792 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2221, 18breldm 4882 . . . . . 6  |-  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2322adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) )
2420, 23sylbi 189 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2524rexlimivw 2664 . . 3  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2615, 25syl 17 . 2  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D
) ) )
271, 4, 26iscmet3i 18731 1  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2545    i^i cin 3152   <.cop 3644   class class class wbr 4024   dom cdm 4688    |` cres 4690   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    ^m cmap 6767   NNcn 9741   MetOpencmopn 16366   ~~> tclm 16950   Caucca 18673   CMetcms 18674   IndMetcims 21139   ~Hchil 21491    +h cva 21492    .h csm 21493   normhcno 21495   Cauchyccau 21498    ~~>v chli 21499
This theorem is referenced by:  hhhl  21775  hilcms  21776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656  ax-hcompl 21773
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ico 10656  df-fz 10777  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-ntr 16751  df-nei 16829  df-lm 16953  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-cfil 18675  df-cau 18676  df-cmet 18677  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-hnorm 21540  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-hcau 21545
  Copyright terms: Public domain W3C validator