HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcms Structured version   Unicode version

Theorem hhcms 22710
Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcms.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhcms.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
hhcms  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )

Proof of Theorem hhcms
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
2 hhcms.1 . . 3  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
3 hhcms.2 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
42, 3hhmet 22681 . 2  |-  D  e.  ( Met `  ~H )
52, 3hhcau 22705 . . . . . 6  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
65eleq2i 2502 . . . . 5  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) ) )
7 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
8 ax-hilex 22507 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
9 nnex 10011 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
108, 9elmap 7045 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  f : NN --> ~H )
1110anbi2i 677 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  /\  f : NN
--> ~H ) )
127, 11bitri 242 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
136, 12bitri 242 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
14 ax-hcompl 22709 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
1513, 14sylbir 206 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
162, 3, 1hhlm 22706 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1716breqi 4221 . . . . . 6  |-  ( f 
~~>v  x  <->  f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x )
18 vex 2961 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1918brres 5155 . . . . . 6  |-  ( f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x  <->  ( f
( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2017, 19bitri 242 . . . . 5  |-  ( f 
~~>v  x  <->  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
21 vex 2961 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2221, 18breldm 5077 . . . . . 6  |-  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2322adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) )
2420, 23sylbi 189 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2524rexlimivw 2828 . . 3  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2615, 25syl 16 . 2  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D
) ) )
271, 4, 26iscmet3i 19269 1  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    i^i cin 3321   <.cop 3819   class class class wbr 4215   dom cdm 4881    |` cres 4883   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   NNcn 10005   MetOpencmopn 16696   ~~> tclm 17295   Caucca 19211   CMetcms 19212   IndMetcims 22075   ~Hchil 22427    +h cva 22428    .h csm 22429   normhcno 22431   Cauchyccau 22434    ~~>v chli 22435
This theorem is referenced by:  hhhl  22711  hilcms  22712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cc 8320  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592  ax-hcompl 22709
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-fz 11049  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-lm 17298  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-cfil 19213  df-cau 19214  df-cmet 19215  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-vs 22083  df-nmcv 22084  df-ims 22085  df-hnorm 22476  df-hvsub 22479  df-hlim 22480  df-hcau 22481
  Copyright terms: Public domain W3C validator