HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcms Unicode version

Theorem hhcms 21612
Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcms.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhcms.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
hhcms  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )

Proof of Theorem hhcms
StepHypRef Expression
1 eqid 2253 . 2  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
2 hhcms.1 . . 3  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
3 hhcms.2 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
42, 3hhmet 21583 . 2  |-  D  e.  ( Met `  ~H )
52, 3hhcau 21607 . . . . . 6  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
65eleq2i 2317 . . . . 5  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) ) )
7 elin 3266 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
8 ax-hilex 21409 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
9 nnex 9632 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
108, 9elmap 6682 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  f : NN --> ~H )
1110anbi2i 678 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  /\  f : NN
--> ~H ) )
127, 11bitri 242 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
136, 12bitri 242 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
14 ax-hcompl 21611 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
1513, 14sylbir 206 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
162, 3, 1hhlm 21608 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1716breqi 3926 . . . . . 6  |-  ( f 
~~>v  x  <->  f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x )
18 vex 2730 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1918brres 4868 . . . . . 6  |-  ( f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x  <->  ( f
( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2017, 19bitri 242 . . . . 5  |-  ( f 
~~>v  x  <->  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
21 vex 2730 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2221, 18breldm 4790 . . . . . 6  |-  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2322adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) )
2420, 23sylbi 189 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2524rexlimivw 2625 . . 3  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2615, 25syl 17 . 2  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D
) ) )
271, 4, 26iscmet3i 18569 1  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510    i^i cin 3077   <.cop 3547   class class class wbr 3920   dom cdm 4580    |` cres 4582   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   NNcn 9626   MetOpencmopn 16204   ~~> tclm 16788   Caucca 18511   CMetcms 18512   IndMetcims 20977   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .h csm 21331   normhcno 21333   Cauchyccau 21336    ~~>v chli 21337
This theorem is referenced by:  hhhl  21613  hilcms  21614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvdistr1 21418  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494  ax-hcompl 21611
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ico 10540  df-fz 10661  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-rest 13201  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-ntr 16589  df-nei 16667  df-lm 16791  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-hnorm 21378  df-hvsub 21381  df-hlim 21382  df-hcau 21383
  Copyright terms: Public domain W3C validator