HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcms Unicode version

Theorem hhcms 22693
Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcms.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhcms.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
hhcms  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )

Proof of Theorem hhcms
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
2 hhcms.1 . . 3  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
3 hhcms.2 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
42, 3hhmet 22664 . 2  |-  D  e.  ( Met `  ~H )
52, 3hhcau 22688 . . . . . 6  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
65eleq2i 2499 . . . . 5  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) ) )
7 elin 3522 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
8 ax-hilex 22490 . . . . . . . 8  |-  ~H  e.  _V
9 nnex 9995 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
108, 9elmap 7033 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  f : NN --> ~H )
1110anbi2i 676 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  /\  f : NN
--> ~H ) )
127, 11bitri 241 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
136, 12bitri 241 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy 
<->  ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H ) )
14 ax-hcompl 22692 . . . 4  |-  ( f  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
1513, 14sylbir 205 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  ->  E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x )
162, 3, 1hhlm 22689 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1716breqi 4210 . . . . . 6  |-  ( f 
~~>v  x  <->  f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x )
18 vex 2951 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1918brres 5143 . . . . . 6  |-  ( f ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x  <->  ( f
( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2017, 19bitri 241 . . . . 5  |-  ( f 
~~>v  x  <->  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D ) ) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
21 vex 2951 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2221, 18breldm 5065 . . . . . 6  |-  ( f ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( f ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) x  /\  f  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D )
) )
2420, 23sylbi 188 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2524rexlimivw 2818 . . 3  |-  ( E. x  e.  ~H  f  ~~>v  x  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  D ) ) )
2615, 25syl 16 . 2  |-  ( ( f  e.  ( Cau `  D )  /\  f : NN --> ~H )  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  D
) ) )
271, 4, 26iscmet3i 19252 1  |-  D  e.  ( CMet `  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    i^i cin 3311   <.cop 3809   class class class wbr 4204   dom cdm 4869    |` cres 4871   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^m cmap 7009   NNcn 9989   MetOpencmopn 16679   ~~> tclm 17278   Caucca 19194   CMetcms 19195   IndMetcims 22058   ~Hchil 22410    +h cva 22411    .h csm 22412   normhcno 22414   Cauchyccau 22417    ~~>v chli 22418
This theorem is referenced by:  hhhl  22694  hilcms  22695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575  ax-hcompl 22692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ico 10911  df-fz 11033  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-rest 13638  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-ntr 17072  df-nei 17150  df-lm 17281  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-hnorm 22459  df-hvsub 22462  df-hlim 22463  df-hcau 22464
  Copyright terms: Public domain W3C validator