Theorem hhip 8965

Description: The inner product operation of Hilbert space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhip	|- .ih = (.i` U)

Proof of Theorem hhip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 8867	. . . 4 |- .ih :(H~ X. H~)-->CC
2		ffn 3613	. . . 4 |- ( .ih :(H~ X. H~)-->CC -> .ih Fn (H~ X. H~))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- .ih Fn (H~ X. H~)
4		oprex 3968	. . . 4 |- (sum_k e. (1...4)((i^k) x. ((normh` (z +h ((i^k) .h w)))^2)) / 4) e. V
5		hhnv.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
6	5	hhnv 8953	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
7	5	hhba 8955	. . . . . 6 |- H~ = (Base` U)
8	5	hhva 8954	. . . . . 6 |- +h = (+v` U)
9	5	hhsm 8957	. . . . . 6 |- .h = (.s` U)
10	5	hhnm 8959	. . . . . 6 |- normh = (norm` U)
11		eqid 1468	. . . . . 6 |- (.i` U) = (.i` U)
12	7, 8, 9, 10, 11	ipfval 8286	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (.i` U) = {<.<.z, w>., v>. | ((z e. H~ /\ w e. H~) /\ v = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. ((normh` (z +h ((i^k) .h w)))^2)) / 4))})
13	6, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- (.i` U) = {<.<.z, w>., v>. | ((z e. H~ /\ w e. H~) /\ v = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. ((normh` (z +h ((i^k) .h w)))^2)) / 4))}
14	4, 13	fnoprab2 4106	. . 3 |- (.i` U) Fn (H~ X. H~)
15		eqfnoprval 4001	. . 3 |- (( .ih Fn (H~ X. H~) /\ (.i` U) Fn (H~ X. H~)) -> ( .ih = (.i` U) <-> ((H~ X. H~) = (H~ X. H~) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih y) = (x(.i` U)y))))
16	3, 14, 15	mp2an 695	. 2 |- ( .ih = (.i` U) <-> ((H~ X. H~) = (H~ X. H~) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih y) = (x(.i` U)y)))
17		eqid 1468	. 2 |- (H~ X. H~) = (H~ X. H~)
18		polidt 8947	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (i x. (((normh` (x +h (i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (i .h y)))^2)))) / 4))
19	5	hhvs 8958	. . . . . 6 |- -h = (-v` U)
20	7, 8, 9, 10, 11, 19	ipval3 8293	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> (x(.i` U)y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (i x. (((normh` (x +h (i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (i .h y)))^2)))) / 4))
21	6, 20	mp3an1 900	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x(.i` U)y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (i x. (((normh` (x +h (i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (i .h y)))^2)))) / 4))
22	18, 21	eqtr4d 1502	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih y) = (x(.i` U)y))
23	22	rgen2a 1691	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih y) = (x(.i` U)y)
24	16, 17, 23	mpbir2an 728	1 |- .ih = (.i` U)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  <.cop 2401   X. cxp 3158   Fn wfn 3167  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  {copab2 3949  CCcc 5204  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266  2c2 5908  4c4 5910  ...cfz 6399  ^cexp 6500  sum_csu 6917  NrmCVeccnv 8141  .icip 8283  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731   .ih csp 8732  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  bcsHIL 8968  hmopbdopHIL 9828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-sum 6918  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ip 8284  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain