Theorem hhlno 9766

Description: The linear operators of Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
hhlno.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhlno.2	|- L = (U LnOp U)

Assertion

Ref	Expression
hhlno	|- LinOp = L

Proof of Theorem hhlno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 8810	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) = (z +h (x .h y)))
2		hvmulclt 8822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
3	1, 2	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) = (z +h (x .h y)))
4	3	fveq2d 3719	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` ((x .h y) +h z)) = (t` (z +h (x .h y))))
5	4	adantlll 396	. . . . . . . . . 10 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` ((x .h y) +h z)) = (t` (z +h (x .h y))))
6		ax-hvcom 8810	. . . . . . . . . . 11 |- (((x .h (t` y)) e. H~ /\ (t` z) e. H~) -> ((x .h (t` y)) +h (t` z)) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
7		hvmulclt 8822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ (t` y) e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
8		simplr 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> x e. CC)
9		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (t` y) e. H~)
10	9	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (t` y) e. H~)
11	7, 8, 10	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
12	11	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
13		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t:H~-->H~ /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
14	13	adantlr 393	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
15	14	adantlr 393	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
16	6, 12, 15	sylanc 471	. . . . . . . . . 10 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h (t` y)) +h (t` z)) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
17	5, 16	eqeq12d 1486	. . . . . . . . 9 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
18	17	ralbidva 1656	. . . . . . . 8 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
19	18	ralbidva 1656	. . . . . . 7 |- ((t:H~-->H~ /\ x e. CC) -> (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.y e. H~ A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
20		ralcom 1771	. . . . . . 7 |- (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))) <-> A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
21	19, 20	syl6bb 535	. . . . . 6 |- ((t:H~-->H~ /\ x e. CC) -> (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
22	21	ralbidva 1656	. . . . 5 |- (t:H~-->H~ -> (A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.x e. CC A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
23		ralcom 1771	. . . . 5 |- (A.x e. CC A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))) <-> A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
24	22, 23	syl6bb 535	. . . 4 |- (t:H~-->H~ -> (A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
25	24	pm5.32i 644	. . 3 |- ((t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z))) <-> (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
26	25	abbii 1572	. 2 |- {t | (t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)))} = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))}
27		df-lnop 9707	. 2 |- LinOp = {t | (t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)))}
28		eqid 1473	. . . 4 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
29	28	hhnv 8971	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
30	28	hhba 8973	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
31	28	hhva 8972	. . . 4 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
32	28	hhsm 8975	. . . 4 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
33		hhlno.2	. . . . 5 |- L = (U LnOp U)
34		hhlno.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
35	34, 34	opreq12i 3964	. . . . 5 |- (U LnOp U) = (<.<. +h , .h >., normh>. LnOp <.<. +h , .h >., normh>.)
36	33, 35	eqtr 1492	. . . 4 |- L = (<.<. +h , .h >., normh>. LnOp <.<. +h , .h >., normh>.)
37	30, 30, 31, 31, 32, 32, 36	lnoval 8360	. . 3 |- ((<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec) -> L = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))})
38	29, 29, 37	mp2an 696	. 2 |- L = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))}
39	26, 27, 38	3eqtr4 1502	1 |- LinOp = L

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461  A.wral 1642  <.cop 2407  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  NrmCVeccnv 8155   LnOp clno 8348  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  normhcno 8733  LinOpclo 8755

This theorem is referenced by:  hhblo 9768  hmopbdopHIL 9851  nmlnop0HIL 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676 &n