HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhlnoi Unicode version

Theorem hhlnoi 22588
Description: The linear operators of Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhlno.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhlno.2  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
Assertion
Ref Expression
hhlnoi  |-  LinOp  =  L

Proof of Theorem hhlnoi
Dummy variables  x  t  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lnop 22529 . 2  |-  LinOp  =  {
t  e.  ( ~H 
^m  ~H )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( t `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  (
t `  y )
)  +h  ( t `
 z ) ) }
2 hhlno.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 21852 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
42hhba 21854 . . . 4  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
52hhva 21853 . . . 4  |-  +h  =  ( +v `  U )
62hhsm 21856 . . . 4  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
7 hhlno.2 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  U
)
84, 4, 5, 5, 6, 6, 7lnoval 21438 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  U  e.  NrmCVec )  ->  L  =  { t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
t `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( t `  y ) )  +h  ( t `  z
) ) } )
93, 3, 8mp2an 653 . 2  |-  L  =  { t  e.  ( ~H  ^m  ~H )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
t `  ( (
x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( t `  y ) )  +h  ( t `  z
) ) }
101, 9eqtr4i 2381 1  |-  LinOp  =  L
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   {crab 2623   <.cop 3719   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    ^m cmap 6857   CCcc 8822   NrmCVeccnv 21248    LnOp clno 21426   ~Hchil 21607    +h cva 21608    .h csm 21609   normhcno 21611   LinOpclo 21635
This theorem is referenced by:  hhbloi  22590  hmopbdoptHIL  22676  nmlnop0iHIL  22684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-hilex 21687  ax-hfvadd 21688  ax-hvcom 21689  ax-hvass 21690  ax-hv0cl 21691  ax-hvaddid 21692  ax-hfvmul 21693  ax-hvmulid 21694  ax-hvmulass 21695  ax-hvdistr1 21696  ax-hvdistr2 21697  ax-hvmul0 21698  ax-hfi 21766  ax-his1 21769  ax-his2 21770  ax-his3 21771  ax-his4 21772
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-grpo 20964  df-gid 20965  df-ablo 21055  df-vc 21210  df-nv 21256  df-va 21259  df-ba 21260  df-sm 21261  df-lno 21430  df-hnorm 21656  df-hvsub 21659  df-lnop 22529
  Copyright terms: Public domain W3C validator