Theorem hhph 9045

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhph	|- U e. CPreHil

Proof of Theorem hhph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 9027	. . . 4 |- +h e. Abel
2	1	elisseti 1818	. . 3 |- +h e. V
3		hvmulex 8881	. . 3 |- .h e. V
4		normf 8989	. . . 4 |- normh:H~-->RR
5		ax-hilex 8869	. . . 4 |- H~ e. V
6		fex 3652	. . . 4 |- ((normh:H~-->RR /\ H~ e. V) -> normh e. V)
7	4, 5, 6	mp2an 697	. . 3 |- normh e. V
8		ablgrp 8102	. . . . . . 7 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- +h e. Grp
10		ax-hfvadd 8870	. . . . . . 7 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
11	10	fdmi 3632	. . . . . 6 |- dom +h = (H~ X. H~)
12	9, 11	grprn 8056	. . . . 5 |- H~ = ran +h
13	12	isphg 8476	. . . 4 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (<.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
14		hhnv.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
15	14	eleq1i 1537	. . . 4 |- (U e. CPreHil <-> <.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil)
16	13, 15	syl5bb 532	. . 3 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
17	2, 3, 7, 16	mp3an 916	. 2 |- (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))))
18		eqid 1475	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
19	18	hhnv 9032	. 2 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
20		normpart 9022	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
21		hvsubvalt 8886	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
22	21	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x -h y)) = (normh` (x +h (-u1 .h y))))
23	22	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) = ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2))
24	23	opreq2d 3976	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)))
25		axaddcom 5275	. . . . . 6 |- ((((normh` (x +h y))^2) e. CC /\ ((normh` (x -h y))^2) e. CC) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
26		hvaddclt 8882	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
27		normclt 8991	. . . . . . . . 9 |- ((x +h y) e. H~ -> (normh` (x +h y)) e. RR)
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. RR)
29	28	recnd 5315	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. CC)
30		sqclt 6611	. . . . . . 7 |- ((normh` (x +h y)) e. CC -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
31	29, 30	syl 10	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
32		hvsubclt 8887	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) e. H~)
33		normclt 8991	. . . . . . . 8 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. RR)
34	33	recnd 5315	. . . . . . 7 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. CC)
35		sqclt 6611	. . . . . . 7 |- ((normh` (x -h y)) e. CC -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
36	32, 34, 35	3syl 20	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
37	25, 31, 36	sylanc 471	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
38	24, 37	eqtr3d 1509	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
39		2cn 5980	. . . . . 6 |- 2 e. CC
40		axdistr 5279	. . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ ((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
41	39, 40	mp3an1 903	. . . . 5 |- ((((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
42		normclt 8991	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
43	42	recnd 5315	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. CC)
44		sqclt 6611	. . . . . 6 |- ((normh` x) e. CC -> ((normh` x)^2) e. CC)
45	43, 44	syl 10	. . . . 5 |- (x e. H~ -> ((normh` x)^2) e. CC)
46		normclt 8991	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. RR)
47	46	recnd 5315	. . . . . 6 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. CC)
48		sqclt 6611	. . . . . 6 |- ((normh` y) e. CC -> ((normh` y)^2) e. CC)
49	47, 48	syl 10	. . . . 5 |- (y e. H~ -> ((normh` y)^2) e. CC)
50	41, 45, 49	syl2an 454	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
51	20, 38, 50	3eqtr4d 1517	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))
52	51	rgen2a 1699	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))
53	17, 19, 52	mpbir2an 730	1 |- U e. CPreHil

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  <.cop 2411   X. cxp 3168  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293  2c2 5961  ^cexp 6568  Grpcgr 8033  Abelcabl 8099  NrmCVeccnv 8203  CPreHilcphl 8471  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790   -h cmv 8792  normhcno 8794

This theorem is referenced by:  bcsHIL 9047  hhhl 9073  hhssph 9144  projlemHIL 9218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom</