Theorem hhshsslem1 9132

Description: Lemma for hhsssh 9134.

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhsst.2	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssp3.3	|- W e. (SubSp` U)
hhssp3.4	|- H (_ H~

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	|- H = (Base` W)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
2		eqid 1478	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
3	1, 2	bafval 8219	. . 3 |- (Base` W) = ran (+v` W)
4		hhsst.1	. . . . . . . 8 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhnv 9027	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . . 7 |- W e. (SubSp` U)
7		eqid 1478	. . . . . . . 8 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
8	7	sspnv 8381	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> W e. NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 699	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
10	2	nvgrp 8232	. . . . . 6 |- (W e. NrmCVec -> (+v` W) e. Grp)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (+v` W) e. Grp
12		grprndm 8051	. . . . 5 |- ((+v` W) e. Grp -> ran (+v` W) = dom dom (+v` W))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- ran (+v` W) = dom dom (+v` W)
14		hhsst.2	. . . . . . . . 9 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
15	14	fveq2i 3733	. . . . . . . 8 |- (+v` W) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
16		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
17	16	vafval 8218	. . . . . . . . 9 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.))
18		opex 2788	. . . . . . . . . . . 12 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. e. V
19	18	op1st 4091	. . . . . . . . . . 11 |- (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
20	19	fveq2i 3733	. . . . . . . . . 10 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.)
21		hilabl 9022	. . . . . . . . . . . 12 |- +h e. Abel
22		resexg 3400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +h e. Abel -> ( +h |` (H X. H)) e. V)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( +h |` (H X. H)) e. V
24	23	op1st 4091	. . . . . . . . . 10 |- (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.) = ( +h |` (H X. H))
25	20, 24	eqtr 1498	. . . . . . . . 9 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = ( +h |` (H X. H))
26	17, 25	eqtr 1498	. . . . . . . 8 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = ( +h |` (H X. H))
27	15, 26	eqtr 1498	. . . . . . 7 |- (+v` W) = ( +h |` (H X. H))
28	27	dmeqi 3318	. . . . . 6 |- dom (+v` W) = dom ( +h |` (H X. H))
29		hhssp3.4	. . . . . . . . 9 |- H (_ H~
30		ssxp 3262	. . . . . . . . 9 |- ((H (_ H~ /\ H (_ H~) -> (H X. H) (_ (H~ X. H~))
31	29, 29, 30	mp2an 699	. . . . . . . 8 |- (H X. H) (_ (H~ X. H~)
32		ax-hfvadd 8865	. . . . . . . . 9 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
33	32	fdmi 3638	. . . . . . . 8 |- dom +h = (H~ X. H~)
34	31, 33	sseqtr4 2097	. . . . . . 7 |- (H X. H) (_ dom +h
35		ssdmres 3387	. . . . . . 7 |- ((H X. H) (_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
36	34, 35	mpbi 189	. . . . . 6 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
37	28, 36	eqtr 1498	. . . . 5 |- dom (+v` W) = (H X. H)
38	37	dmeqi 3318	. . . 4 |- dom dom (+v` W) = dom ( H X. H)
39		dmxpid 3339	. . . 4 |- dom ( H X. H) = H
40	13, 38, 39	3eqtr 1502	. . 3 |- ran (+v` W) = H
41	3, 40	eqtr 1498	. 2 |- (Base` W) = H
42	41	eqcomi 1482	1 |- H = (Base` W)

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2050  <.cop 2415   X. cxp 3174  dom cdm 3176  ran crn 3177   |` cres 3178  ` cfv 3188  1stc1st 4083  CCcc 5244  Grpcgr 8030  Abelcabl 8095  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  SubSpcss 8376  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  hhshsslem2 9133  hhssba 9136

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-ssp 8377  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain