Theorem hhssabl 9120

Description: Abelian group property of subspace addition.

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssabl	|- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Proof of Theorem hhssabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 9011	. . . . . 6 |- +h e. Abel
2		ablgrp 8086	. . . . . 6 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- +h e. Grp
4		eqid 1475	. . . . . . 7 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhba 9020	. . . . . 6 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
6	4	hhva 9019	. . . . . 6 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	5, 6	bafval 8208	. . . . 5 |- H~ = ran +h
8	4	hh0v 9022	. . . . . 6 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
9	6, 8	0vfval 8210	. . . . 5 |- 0h = (Id` +h )
10	4	hhnv 9017	. . . . . 6 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
11	4	hhsm 9023	. . . . . . 7 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
12		eqid 1475	. . . . . . 7 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))
13	6, 11, 12	invfval 8246	. . . . . 6 |- (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec -> ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = (inv` +h ))
14	10, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = (inv` +h )
15		hhssabl.1	. . . . . 6 |- H e. SH
16	15	shssi 9069	. . . . 5 |- H (_ H~
17		eqid 1475	. . . . 5 |- ( +h |` (H X. H)) = ( +h |` (H X. H))
18		shaddclt 9073	. . . . . 6 |- ((H e. SH /\ x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
19	15, 18	mp3an1 902	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
20		sh0 9072	. . . . . 6 |- (H e. SH -> 0h e. H)
21	15, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0h e. H
22		ax-hfvmul 8859	. . . . . . . 8 |- .h :(CC X. H~)-->H~
23		ffn 3624	. . . . . . . 8 |- ( .h :(CC X. H~)-->H~ -> .h Fn (CC X. H~))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- .h Fn (CC X. H~)
25		ax1cn 5256	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
26	25	negcl 5356	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
27	12	curry1val 4097	. . . . . . 7 |- (( .h Fn (CC X. H~) /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) = (-u1 .h x))
28	24, 26, 27	mp3an12 905	. . . . . 6 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) = (-u1 .h x))
29		shmulclt 9075	. . . . . . 7 |- ((H e. SH /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (-u1 .h x) e. H)
30	15, 26, 29	mp3an12 905	. . . . . 6 |- (x e. H -> (-u1 .h x) e. H)
31	28, 30	eqeltrd 1547	. . . . 5 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) e. H)
32	3, 7, 9, 14, 16, 17, 19, 21, 31	issubgi 8107	. . . 4 |- ( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h )
33		issubg 8101	. . . 4 |- (( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h ) <-> ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) (_ +h ))
34	32, 33	mpbi 189	. . 3 |- ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) (_ +h )
35	34	3simp2i 791	. 2 |- ( +h |` (H X. H)) e. Grp
36		ssxp 3253	. . . . 5 |- ((H (_ H~ /\ H (_ H~) -> (H X. H) (_ (H~ X. H~))
37	16, 16, 36	mp2an 696	. . . 4 |- (H X. H) (_ (H~ X. H~)
38		ax-hfvadd 8854	. . . . 5 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
39		fdm 3628	. . . . 5 |- ( +h :(H~ X. H~)-->H~ -> dom +h = (H~ X. H~))
40	38, 39	ax-mp 7	. . . 4 |- dom +h = (H~ X. H~)
41	37, 40	sseqtr4 2092	. . 3 |- (H X. H) (_ dom +h
42		ssdmres 3378	. . 3 |- ((H X. H) (_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
43	41, 42	mpbi 189	. 2 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
44		ax-hvcom 8855	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) = (y +h x))
45	15	shel 9070	. . . 4 |- (x e. H -> x e. H~)
46	15	shel 9070	. . . 4 |- (y e. H -> y e. H~)
47	44, 45, 46	syl2an 454	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) = (y +h x))
48		oprvalres 4030	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (x +h y))
49		oprvalres 4030	. . . 4 |- ((y e. H /\ x e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
50	49	ancoms 436	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
51	47, 48, 50	3eqtr4d 1516	. 2 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (y( +h |` (H X. H))x))
52	35, 43, 51	isabli 8091	1 |- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809   (_ wss 2045  {csn 2407  <.cop 2409   X. cxp 3165  `'ccnv 3166  dom cdm 3167   |` cres 3169   o. ccom 3171   Fn wfn 3174  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  2ndc2nd 4075  CCcc 5219  1c1 5222  -ucneg 5280  Grpcgr 8016  invcgn 8018  Abelcabl 8083  SubGrpcsubg 8099  NrmCVeccnv 8188  H~chil 8772   +h cva 8773   .h csm 8774  0hc0v 8775  normhcno 8778  SHcsh 8781

This theorem is referenced by:  hhssablt 9121  hhssnv 9122

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-seq1 6263  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-abl 8084  df-subg 8100  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-nm 8204  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824  df-sh 9064

Copyright terms: Public domain