Theorem hhsscms 9150

Description: The induced metric of a closed subspace is complete.

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssims2.3	|- D = (IndMet` W)
hhsscms.3	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
hhsscms	|- D e. CMet

Proof of Theorem hhsscms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.1	. . 3 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
2		hhssims2.3	. . 3 |- D = (IndMet` W)
3		hhsscms.3	. . . 4 |- H e. CH
4	3	chshi 9097	. . 3 |- H e. SH
5	1, 2, 4	hhssmetba 9148	. 2 |- H = dom dom D
6	1, 2, 4	hhssmet 9147	. 2 |- D e. Met
7		1z 6159	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
8		nnuz 6439	. . . . . . . . 9 |- NN = (ZZ>` 1)
9	5, 7, 8	lmbrf2 7931	. . . . . . . 8 |- ((D e. Met /\ x e. H /\ f:NN-->H) -> (f(~~>m` D)x <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y))))
10	6, 9	mp3an1 903	. . . . . . 7 |- ((x e. H /\ f:NN-->H) -> (f(~~>m` D)x <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y))))
11	10	ancoms 436	. . . . . 6 |- ((f:NN-->H /\ x e. H) -> (f(~~>m` D)x <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y))))
12	1, 2, 4	hhssmetdval 9149	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f` k) e. H /\ x e. H) -> ((f` k)Dx) = (normh` ((f` k) -h x)))
13		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f:NN-->H /\ k e. NN) -> (f` k) e. H)
14	13	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f:NN-->H /\ x e. H) /\ k e. NN) -> (f` k) e. H)
15		simplr 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f:NN-->H /\ x e. H) /\ k e. NN) -> x e. H)
16	12, 14, 15	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->H /\ x e. H) /\ k e. NN) -> ((f` k)Dx) = (normh` ((f` k) -h x)))
17	16	breq1d 2629	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->H /\ x e. H) /\ k e. NN) -> (((f` k)Dx) < y <-> (normh` ((f` k) -h x)) < y))
18	17	imbi2d 612	. . . . . . . . . 10 |- (((f:NN-->H /\ x e. H) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((f` k)Dx) < y) <-> (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
19	18	ralbidva 1659	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->H /\ x e. H) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y) <-> A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
20	19	rexbidv 1664	. . . . . . . 8 |- ((f:NN-->H /\ x e. H) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
21	20	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->H /\ x e. H) -> ((0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y)) <-> (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y))))
22	21	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- ((f:NN-->H /\ x e. H) -> (A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)Dx) < y)) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y))))
23	11, 22	bitrd 528	. . . . 5 |- ((f:NN-->H /\ x e. H) -> (f(~~>m` D)x <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y))))
24		visset 1813	. . . . . 6 |- f e. V
25		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
26	24, 25	hlimconv 9059	. . . . 5 |- (f ~~>v x -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h x)) < y)))
27	23, 26	syl5bir 210	. . . 4 |- ((f:NN-->H /\ x e. H) -> (f ~~>v x -> f(~~>m` D)x))
28	27	r19.22dva 1739	. . 3 |- (f:NN-->H -> (E.x e. H f ~~>v x -> E.x e. H f(~~>m` D)x))
29		pm3.27 323	. . 3 |- ((f e. (Cau` D) /\ f:NN-->H) -> f:NN-->H)
30		chcompl 9115	. . . . . 6 |- ((H e. CH /\ f e. Cauchy /\ f:NN-->H) -> E.x e. H f ~~>v x)
31	3, 30	mp3an1 903	. . . . 5 |- ((f e. Cauchy /\ f:NN-->H) -> E.x e. H f ~~>v x)
32		hcau2 9055	. . . . . . 7 |- (f e. Cauchy <-> (f:NN-->H~ /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))))
33	32	biimpr 152	. . . . . 6 |- ((f:NN-->H~ /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))) -> f e. Cauchy)
34	3	chssi 9101	. . . . . . 7 |- H (_ H~
35		fss 3635	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->H /\ H (_ H~) -> f:NN-->H~)
36	34, 35	mpan2 696	. . . . . 6 |- (f:NN-->H -> f:NN-->H~)
37	33, 36	sylan 448	. . . . 5 |- ((f:NN-->H /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))) -> f e. Cauchy)
38		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((f:NN-->H /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))) -> f:NN-->H)
39	31, 37, 38	sylanc 471	. . . 4 |- ((f:NN-->H /\ A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))) -> E.x e. H f ~~>v x)
40	5, 7, 8	iscauf 7939	. . . . . . 7 |- ((D e. Met /\ f:NN-->H) -> (f e. (Cau` D) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y))))
41	6, 40	mpan 695	. . . . . 6 |- (f:NN-->H -> (f e. (Cau` D) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)D(f` k)) < y))))
42	1, 2, 4	hhssmetdval 9149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f` j) e. H /\ (f` k) e. H) -> ((f` j)D(f` k)) = (normh` ((f` j) -h (f` k))))
43		normsubt 9010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((f` j) e. H~ /\ (f` k) e. H~) -> (normh` ((f` j) -h (f` k))) = (normh` ((f` k) -h (f` j))))
44	3	chel 9102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((f` j) e. H -> (f` j) e. H~)
45	3	chel 9102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((f` k) e. H -> (f` k) e. H~)
46	43, 44, 45	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((f` j) e. H /\ (f` k) e. H) -> (normh` ((f` j) -h (f` k))) = (normh` ((f` k) -h (f` j))))
47	42, 46	eqtrd 1507	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((f` j) e. H /\ (f` k) e. H) -> ((f` j)D(f` k)) = (normh` ((f` k) -h (f` j))))
48	47	breq1d 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f` j) e. H /\ (f` k) e. H) -> (((f` j)D(f` k)) < y <-> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))
49		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->H /\ j e. NN) -> (f` j) e. H)
50	49	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (f` j) e. H)
51	13	adantlr 393	. . . . . . . . . . . 12 |- (((f:NN-->H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (f` k) e. H)
52	48, 50, 51	sylanc 471	. . . . . . . . . . 11 |- (((f:NN-->H /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((f` j)D(f` k)) < y <-> (normh` ((f` k) -h (f` j))) < y))
53	52	imbi2d 612	. . . . . . . . . 10 |- ((