Theorem hhssva 9117

Description: The vector addition operation on a subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.

Assertion

Ref	Expression
hhssva	|- ( +h |` (H X. H)) = (+v` W)

Proof of Theorem hhssva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- (+v` W) = (+v` W)
2	1	vafval 8207	. 2 |- (+v` W) = (1st` (1st` W))
3		hhss.1	. . . . 5 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
4	3	fveq2i 3724	. . . 4 |- (1st` W) = (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
5		opex 2779	. . . . 5 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. e. V
6	5	op1st 4082	. . . 4 |- (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
7	4, 6	eqtr 1494	. . 3 |- (1st` W) = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
8	7	fveq2i 3724	. 2 |- (1st` (1st` W)) = (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.)
9		hilabl 9011	. . . 4 |- +h e. Abel
10		resexg 3391	. . . 4 |- ( +h e. Abel -> ( +h |` (H X. H)) e. V)
11	9, 10	ax-mp 7	. . 3 |- ( +h |` (H X. H)) e. V
12	11	op1st 4082	. 2 |- (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.) = ( +h |` (H X. H))
13	2, 8, 12	3eqtrr 1499	1 |- ( +h |` (H X. H)) = (+v` W)

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809  <.cop 2409   X. cxp 3165   |` cres 3169  ` cfv 3179  1stc1st 4074  CCcc 5219  Abelcabl 8083  +vcpv 8189   +h cva 8773   .h csm 8774  normhcno 8778

This theorem is referenced by:  hhsst 9124

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-sub 5343  df-neg 5345  df-grp 8020  df-abl 8084  df-va 8199  df-hvsub 8824

Copyright terms: Public domain