Theorem hiassdit 8878

Description: Distributive/associative law for inner product, useful for linearity proofs.

Assertion

Ref	Expression
hiassdit	|- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))

Proof of Theorem hiassdit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his2 8871	. . . 4 |- (((A .h B) e. H~ /\ C e. H~ /\ D e. H~) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
2	1	3expb 832	. . 3 |- (((A .h B) e. H~ /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
3		hvmulclt 8804	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (A .h B) e. H~)
4	2, 3	sylan 448	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
5		ax-his3 8872	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ D e. H~) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
6	5	3expa 831	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ D e. H~) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
7	6	adantrl 394	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
8	7	opreq1d 3960	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))
9	4, 8	eqtrd 1499	1 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204   + caddc 5209   x. cmul 5211  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   .ih csp 8732

This theorem is referenced by:  unoplint 9760  hmoplint 9782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hfvmul 8796  ax-his2 8871  ax-his3 8872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950

Copyright terms: Public domain