Theorem hilabl 9022

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation.

Assertion

Ref	Expression
hilabl	|- +h e. Abel

Proof of Theorem hilabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8864	. . 3 |- H~ e. V
2		ax-hfvadd 8865	. . 3 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
3		ax-hvass 8867	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> ((x +h y) +h z) = (x +h (y +h z)))
4		ax-hv0cl 8868	. . 3 |- 0h e. H~
5		hvaddid2t 8887	. . 3 |- (x e. H~ -> (0h +h x) = x)
6		ax1cn 5281	. . . . 5 |- 1 e. CC
7	6	negcl 5381	. . . 4 |- -u1 e. CC
8		hvmulclt 8878	. . . 4 |- ((-u1 e. CC /\ x e. H~) -> (-u1 .h x) e. H~)
9	7, 8	mpan 697	. . 3 |- (x e. H~ -> (-u1 .h x) e. H~)
10		ax-hvcom 8866	. . . . 5 |- (((-u1 .h x) e. H~ /\ x e. H~) -> ((-u1 .h x) +h x) = (x +h (-u1 .h x)))
11	9, 10	mpancom 707	. . . 4 |- (x e. H~ -> ((-u1 .h x) +h x) = (x +h (-u1 .h x)))
12		hvnegidt 8891	. . . 4 |- (x e. H~ -> (x +h (-u1 .h x)) = 0h)
13	11, 12	eqtrd 1510	. . 3 |- (x e. H~ -> ((-u1 .h x) +h x) = 0h)
14	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13	isgrpi 8039	. 2 |- +h e. Grp
15	2	fdmi 3638	. 2 |- dom +h = (H~ X. H~)
16		ax-hvcom 8866	. 2 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) = (y +h x))
17	14, 15, 16	isabli 8102	1 |- +h e. Abel

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960   X. cxp 3174  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  -ucneg 5305  Abelcabl 8095  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  0hc0v 8786

This theorem is referenced by:  hilid 9023  hilvc 9024  hhnv 9027  hhba 9029  hhph 9040  hhssva 9124  hhsssm 9125  hhssabl 9127  hhshsslem1 9132  hhsssh2 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-abl 8096  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain