HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Unicode version

Theorem hilablo 22511
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo  |-  +h  e.  AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 22351 . . 3  |-  ~H  e.  _V
2 ax-hfvadd 22352 . . 3  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
3 ax-hvass 22354 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  +h  y
)  +h  z )  =  ( x  +h  ( y  +h  z
) ) )
4 ax-hv0cl 22355 . . 3  |-  0h  e.  ~H
5 hvaddid2 22374 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  x )  =  x )
6 neg1cn 10000 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
7 hvmulcl 22365 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  x )  e.  ~H )
86, 7mpan 652 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( -u 1  .h  x )  e.  ~H )
9 ax-hvcom 22353 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 1  .h  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( -u 1  .h  x )  +h  x
)  =  ( x  +h  ( -u 1  .h  x ) ) )
108, 9mpancom 651 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .h  x
)  +h  x )  =  ( x  +h  ( -u 1  .h  x
) ) )
11 hvnegid 22378 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  ( -u
1  .h  x ) )  =  0h )
1210, 11eqtrd 2420 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .h  x
)  +h  x )  =  0h )
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 21635 . 2  |-  +h  e.  GrpOp
142fdmi 5537 . 2  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
15 ax-hvcom 22353 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
1613, 14, 15isabloi 21725 1  |-  +h  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717    X. cxp 4817  (class class class)co 6021   CCcc 8922   1c1 8925   -ucneg 9225   AbelOpcablo 21718   ~Hchil 22271    +h cva 22272    .h csm 22273   0hc0v 22276
This theorem is referenced by:  hilid  22512  hilvc  22513  hhnv  22516  hhba  22518  hhph  22529  hhssva  22608  hhsssm  22609  hhssabloi  22611  hhshsslem1  22616  shsval  22663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-sub 9226  df-neg 9227  df-grpo 21628  df-ablo 21719  df-hvsub 22323
  Copyright terms: Public domain W3C validator