Theorem hlass 8546

Description: Hilbert space vector addition is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
hladdf.1	|- X = (Base` U)
hladdf.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
hlass	|- ((U e. CHil /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)GC) = (AG(BGC)))

Proof of Theorem hlass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hladdf.1	. . 3 |- X = (Base` U)
2		hladdf.2	. . 3 |- G = (+v` U)
3	1, 2	nvass 8193	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)GC) = (AG(BGC)))
4		hlnv 8539	. 2 |- (U e. CHil -> U e. NrmCVec)
5	3, 4	sylan 448	1 |- ((U e. CHil /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AGB)GC) = (AG(BGC)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  NrmCVeccnv 8155  +vcpv 8156  Basecba 8157  CHilchl 8533

This theorem is referenced by:  axhvass 8793

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-grp 7987  df-gid 7988  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171  df-bn 8467  df-hl 8534

Copyright terms: Public domain