Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej1 30109
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 14481 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 30098 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 30024 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 30024 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 14481 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1226 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466   Atomscatm 29998   HLchlt 30085
This theorem is referenced by:  hlatlej2  30110  cvratlem  30155  cvrat4  30177  ps-2  30212  lplnllnneN  30290  dalem1  30393  lnatexN  30513  lncmp  30517  2atm2atN  30519  2llnma3r  30522  dalawlem3  30607  dalawlem6  30610  dalawlem7  30611  dalawlem12  30616  trlval4  30922  cdlemc5  30929  cdlemc6  30930  cdlemd3  30934  cdleme0cp  30948  cdleme3h  30969  cdleme5  30974  cdleme9  30987  cdleme11c  30995  cdleme15b  31009  cdleme17b  31021  cdleme19a  31037  cdleme20c  31045  cdleme20j  31052  cdleme21c  31061  cdleme22b  31075  cdleme22d  31077  cdleme22e  31078  cdleme22eALTN  31079  cdleme35e  31187  cdleme35f  31188  cdleme42a  31205  cdleme17d2  31229  cdlemeg46req  31263  cdlemg13a  31385  cdlemg17a  31395  cdlemg18b  31413  cdlemg27a  31426  trlcoabs2N  31456  cdlemg42  31463  cdlemk4  31568  cdlemk1u  31593  cdlemk39  31650  dia2dimlem1  31799  dia2dimlem2  31800  dia2dimlem3  31801  cdlemm10N  31853  cdlemn10  31941  dihjatcclem1  32153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086
  Copyright terms: Public domain W3C validator