Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Unicode version

Theorem hlatlej1 29637
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 14168 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 29626 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2285 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29552 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 29552 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 14168 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1224 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   lecple 13217   joincjn 14080   Latclat 14153   Atomscatm 29526   HLchlt 29613
This theorem is referenced by:  hlatlej2  29638  cvratlem  29683  cvrat4  29705  ps-2  29740  lplnllnneN  29818  dalem1  29921  lnatexN  30041  lncmp  30045  2atm2atN  30047  2llnma3r  30050  dalawlem3  30135  dalawlem6  30138  dalawlem7  30139  dalawlem12  30144  trlval4  30450  cdlemc5  30457  cdlemc6  30458  cdlemd3  30462  cdleme0cp  30476  cdleme3h  30497  cdleme5  30502  cdleme9  30515  cdleme11c  30523  cdleme15b  30537  cdleme17b  30549  cdleme19a  30565  cdleme20c  30573  cdleme20j  30580  cdleme21c  30589  cdleme22b  30603  cdleme22d  30605  cdleme22e  30606  cdleme22eALTN  30607  cdleme35e  30715  cdleme35f  30716  cdleme42a  30733  cdleme17d2  30757  cdlemeg46req  30791  cdlemg13a  30913  cdlemg17a  30923  cdlemg18b  30941  cdlemg27a  30954  trlcoabs2N  30984  cdlemg42  30991  cdlemk4  31096  cdlemk1u  31121  cdlemk39  31178  dia2dimlem1  31327  dia2dimlem2  31328  dia2dimlem3  31329  cdlemm10N  31381  cdlemn10  31469  dihjatcclem1  31681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-undef 6300  df-riota 6306  df-lub 14110  df-join 14112  df-lat 14154  df-ats 29530  df-atl 29561  df-cvlat 29585  df-hlat 29614
  Copyright terms: Public domain W3C validator