Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Unicode version

Theorem hlatlej1 29489
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 14416 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 29478 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2387 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29404 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 29404 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 14416 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1226 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   joincjn 14328   Latclat 14401   Atomscatm 29378   HLchlt 29465
This theorem is referenced by:  hlatlej2  29490  cvratlem  29535  cvrat4  29557  ps-2  29592  lplnllnneN  29670  dalem1  29773  lnatexN  29893  lncmp  29897  2atm2atN  29899  2llnma3r  29902  dalawlem3  29987  dalawlem6  29990  dalawlem7  29991  dalawlem12  29996  trlval4  30302  cdlemc5  30309  cdlemc6  30310  cdlemd3  30314  cdleme0cp  30328  cdleme3h  30349  cdleme5  30354  cdleme9  30367  cdleme11c  30375  cdleme15b  30389  cdleme17b  30401  cdleme19a  30417  cdleme20c  30425  cdleme20j  30432  cdleme21c  30441  cdleme22b  30455  cdleme22d  30457  cdleme22e  30458  cdleme22eALTN  30459  cdleme35e  30567  cdleme35f  30568  cdleme42a  30585  cdleme17d2  30609  cdlemeg46req  30643  cdlemg13a  30765  cdlemg17a  30775  cdlemg18b  30793  cdlemg27a  30806  trlcoabs2N  30836  cdlemg42  30843  cdlemk4  30948  cdlemk1u  30973  cdlemk39  31030  dia2dimlem1  31179  dia2dimlem2  31180  dia2dimlem3  31181  cdlemm10N  31233  cdlemn10  31321  dihjatcclem1  31533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-lub 14358  df-join 14360  df-lat 14402  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466
  Copyright terms: Public domain W3C validator