Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Unicode version

Theorem hlatlej1 28843
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 14162 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 28832 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2284 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 28758 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 28758 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 14162 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1224 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   lecple 13211   joincjn 14074   Latclat 14147   Atomscatm 28732   HLchlt 28819
This theorem is referenced by:  hlatlej2  28844  cvratlem  28889  cvrat4  28911  ps-2  28946  lplnllnneN  29024  dalem1  29127  lnatexN  29247  lncmp  29251  2atm2atN  29253  2llnma3r  29256  dalawlem3  29341  dalawlem6  29344  dalawlem7  29345  dalawlem12  29350  trlval4  29656  cdlemc5  29663  cdlemc6  29664  cdlemd3  29668  cdleme0cp  29682  cdleme3h  29703  cdleme5  29708  cdleme9  29721  cdleme11c  29729  cdleme15b  29743  cdleme17b  29755  cdleme19a  29771  cdleme20c  29779  cdleme20j  29786  cdleme21c  29795  cdleme22b  29809  cdleme22d  29811  cdleme22e  29812  cdleme22eALTN  29813  cdleme35e  29921  cdleme35f  29922  cdleme42a  29939  cdleme17d2  29963  cdlemeg46req  29997  cdlemg13a  30119  cdlemg17a  30129  cdlemg18b  30147  cdlemg27a  30160  trlcoabs2N  30190  cdlemg42  30197  cdlemk4  30302  cdlemk1u  30327  cdlemk39  30384  dia2dimlem1  30533  dia2dimlem2  30534  dia2dimlem3  30535  cdlemm10N  30587  cdlemn10  30675  dihjatcclem1  30887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-lub 14104  df-join 14106  df-lat 14148  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820
  Copyright terms: Public domain W3C validator