Theorem hlcms 8598

Description: The induced metric on a complex Hilbert space is complete.

Hypothesis

Ref	Expression
hlcms.8	|- D = (IndMet` U)

Assertion

Ref	Expression
hlcms	|- (U e. CHil -> D e. CMet)

Proof of Theorem hlcms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbn 8592	. 2 |- (U e. CHil -> U e. CBan)
2		hlcms.8	. . 3 |- D = (IndMet` U)
3	2	bncms 8525	. 2 |- (U e. CBan -> D e. CMet)
4	1, 3	syl 10	1 |- (U e. CHil -> D e. CMet)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  CMetcms 7921  IndMetcims 8210  CBancbn 8522  CHilchl 8589

This theorem is referenced by:  hlcompl 8617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-bn 8523  df-hl 8590

Copyright terms: Public domain