HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem hlcom 8466
Description: Hilbert space vector addition is commutative.
Hypotheses
Ref Expression
hladdf.1 |- X = (Base` U)
hladdf.2 |- G = (+v` U)
Assertion
Ref Expression
hlcom |- ((U e. CHil /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))
Proof of Theorem hlcom
StepHypRef Expression
1 hladdf.1 . . 3 |- X = (Base` U)
2 hladdf.2 . . 3 |- G = (+v` U)
31, 2nvcom 8118 . 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))
4 hlnv 8461 . 2 |- (U e. CHil -> U e. NrmCVec)
53, 4syl3an1 856 1 |- ((U e. CHil /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 772   = wceq 1099   e. wcel 1105  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  NrmCVeccnv 8084  +vcpv 8085  Basecba 8086  CHilchl 8455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fo 3159  df-fv 3161  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-grp 7919  df-gid 7920  df-abl 7984  df-vc 8050  df-nv 8092  df-va 8094  df-ba 8095  df-sm 8096  df-0v 8097  df-nm 8099  df-bn 8389  df-hl 8456
Copyright terms: Public domain