Theorem hlcom 8864

Description: Hilbert space vector addition is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
hladdf.1	|- X = (BaseSet` U)
hladdf.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
hlcom	|- ((U e. CHil /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))

Proof of Theorem hlcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hladdf.1	. . 3 |- X = (BaseSet` U)
2		hladdf.2	. . 3 |- G = (+v` U)
3	1, 2	nvcom 8487	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))
4		hlnv 8855	. 2 |- (U e. CHil -> U e. NrmCVec)
5	3, 4	syl3an1 865	1 |- ((U e. CHil /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  NrmCVeccnv 8450  +vcpv 8451  BaseSetcba 8452  CHilchl 8849

This theorem is referenced by:  axhvcom 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fo 3277  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-gid 8250  df-abl 8341  df-vc 8412  df-nv 8458  df-va 8461  df-ba 8462  df-sm 8463  df-0v 8464  df-nm 8466  df-bn 8780  df-hl 8850

Copyright terms: Public domain