Theorem hlim0 9100

Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector.

Assertion

Ref	Expression
hlim0	|- (NN X. {0h}) ~~>v 0h

Proof of Theorem hlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 5935	. . . 4 |- NN e. V
2		snex 2756	. . . 4 |- {0h} e. V
3	1, 2	xpex 3266	. . 3 |- (NN X. {0h}) e. V
4		ax-hv0cl 8868	. . . 4 |- 0h e. H~
5	4	elisseti 1821	. . 3 |- 0h e. V
6	3, 5	hlim 9051	. 2 |- ((NN X. {0h}) ~~>v 0h <-> (((NN X. {0h}):NN-->H~ /\ 0h e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))))
7	5	fconst 3664	. . . 4 |- (NN X. {0h}):NN-->{0h}
8		snssi 2470	. . . . 5 |- (0h e. H~ -> {0h} (_ H~)
9	4, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- {0h} (_ H~
10		fss 3641	. . . 4 |- (((NN X. {0h}):NN-->{0h} /\ {0h} (_ H~) -> (NN X. {0h}):NN-->H~)
11	7, 9, 10	mp2an 699	. . 3 |- (NN X. {0h}):NN-->H~
12	11, 4	pm3.2i 285	. 2 |- ((NN X. {0h}):NN-->H~ /\ 0h e. H~)
13	5	fvconst2 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> ((NN X. {0h})` z) = 0h)
14	13	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (((NN X. {0h})` z) -h 0h) = (0h -h 0h))
15		hvsubidt 8890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0h e. H~ -> (0h -h 0h) = 0h)
16	4, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0h -h 0h) = 0h
17	14, 16	syl6eq 1526	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (((NN X. {0h})` z) -h 0h) = 0h)
18	17	fveq2d 3734	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) = (normh` 0h))
19		norm0 8990	. . . . . . . . . . . 12 |- (normh` 0h) = 0
20	18, 19	syl6eq 1526	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) = 0)
21	20	breq1d 2634	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x <-> 0 < x))
22	21	biimprd 154	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (0 < x -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
23	22	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (1 <_ z -> (0 < x -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
24	23	com3r 35	. . . . . . 7 |- (0 < x -> (z e. NN -> (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
25	24	r19.21aiv 1716	. . . . . 6 |- (0 < x -> A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
26		1nn 5936	. . . . . 6 |- 1 e. NN
27	25, 26	jctil 292	. . . . 5 |- (0 < x -> (1 e. NN /\ A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
28		breq1 2627	. . . . . . . 8 |- (y = 1 -> (y <_ z <-> 1 <_ z))
29	28	imbi1d 615	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> ((y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x) <-> (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
30	29	ralbidv 1666	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x) <-> A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
31	30	rcla4ev 1880	. . . . 5 |- ((1 e. NN /\ A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
32	27, 31	syl 10	. . . 4 |- (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
33	32	a1i 8	. . 3 |- (x e. RR -> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
34	33	rgen 1701	. 2 |- A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
35	6, 12, 34	mpbir2an 732	1 |- (NN X. {0h}) ~~>v 0h

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  {csn 2413   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498  H~chil 8783  0hc0v 8786   -h cmv 8787  normhcno 8789   ~~>v chli 8791

This theorem is referenced by:  hlimcau 9102  hlimuni 9104  hsn0elch 9115

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hv0cl 8868  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his3 8946

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-sqr 6671  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836

Copyright terms: Public domain