Theorem hlim2 9015

Description: The limit of a sequence on a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
hlim2	|- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,A,y,z

Proof of Theorem hlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 3616	. . . . . 6 |- (f = F -> (f:NN-->H~ <-> F:NN-->H~))
2	1	anbi1d 616	. . . . 5 |- (f = F -> ((f:NN-->H~ /\ w e. H~) <-> (F:NN-->H~ /\ w e. H~)))
3		fveq1 3718	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = F -> (f` z) = (F` z))
4	3	opreq1d 3970	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> ((f` z) -h w) = ((F` z) -h w))
5	4	fveq2d 3723	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (normh` ((f` z) -h w)) = (normh` ((F` z) -h w)))
6	5	breq1d 2625	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((normh` ((f` z) -h w)) < x <-> (normh` ((F` z) -h w)) < x))
7	6	imbi2d 611	. . . . . . . 8 |- (f = F -> ((y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x) <-> (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)))
8	7	rexralbidv 1680	. . . . . . 7 |- (f = F -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)))
9	8	imbi2d 611	. . . . . 6 |- (f = F -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x))))
10	9	ralbidv 1661	. . . . 5 |- (f = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x))))
11	2, 10	anbi12d 627	. . . 4 |- (f = F -> (((f:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x))) <-> ((F:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)))))
12		eleq1 1532	. . . . . 6 |- (w = A -> (w e. H~ <-> A e. H~))
13	12	anbi2d 615	. . . . 5 |- (w = A -> ((F:NN-->H~ /\ w e. H~) <-> (F:NN-->H~ /\ A e. H~)))
14		opreq2 3964	. . . . . . . . . . 11 |- (w = A -> ((F` z) -h w) = ((F` z) -h A))
15	14	fveq2d 3723	. . . . . . . . . 10 |- (w = A -> (normh` ((F` z) -h w)) = (normh` ((F` z) -h A)))
16	15	breq1d 2625	. . . . . . . . 9 |- (w = A -> ((normh` ((F` z) -h w)) < x <-> (normh` ((F` z) -h A)) < x))
17	16	imbi2d 611	. . . . . . . 8 |- (w = A -> ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x) <-> (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))
18	17	rexralbidv 1680	. . . . . . 7 |- (w = A -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))
19	18	imbi2d 611	. . . . . 6 |- (w = A -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))
20	19	ralbidv 1661	. . . . 5 |- (w = A -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))
21	13, 20	anbi12d 627	. . . 4 |- (w = A -> (((F:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x))) <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))))
22		df-hlim 8796	. . . 4 |- ~~>v = {<.f, w>. | ((f:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x)))}
23	11, 21, 22	brabg 2814	. . 3 |- ((F e. V /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))))
24		nnex 5891	. . . 4 |- NN e. V
25		fex 3647	. . . 4 |- ((F:NN-->H~ /\ NN e. V) -> F e. V)
26	24, 25	mpan2 695	. . 3 |- (F:NN-->H~ -> F e. V)
27	23, 26	sylan 448	. 2 |- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))))
28	27	bianabs 652	1 |- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  E.wrex 1644  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  RRcr 5216  0cc0 5217   <_ cle 5278  NNcn 5279   < clt 5469  H~chil 8743   -h cmv 8747  normhcno 8749   ~~>v chli 8751

This theorem is referenced by:  hlimcaui 9061

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341  df-n 5883  df-hlim 8796

Copyright terms: Public domain