HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Unicode version

Theorem hlimcaui 22587
Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
41, 2, 3hhlm 22549 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
5 resss 5110 . . . . . . 7  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
64, 5eqsstri 3321 . . . . . 6  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
7 dmss 5009 . . . . . 6  |-  (  ~~>v  C_  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  ->  dom  ~~>v  C_ 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  C_  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )
91, 2hhxmet 22525 . . . . . 6  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )
103lmcau 19136 . . . . . 6  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )  ->  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
128, 11sstri 3300 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( Cau `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )
134dmeqi 5011 . . . . . 6  |-  dom  ~~>v  =  dom  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
14 dmres 5107 . . . . . 6  |-  dom  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
1513, 14eqtri 2407 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
16 inss1 3504 . . . . 5  |-  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )  C_  ( ~H  ^m  NN )
1715, 16eqsstri 3321 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( ~H  ^m  NN )
1812, 17ssini 3507 . . 3  |-  dom  ~~>v  C_  (
( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
191, 2hhcau 22548 . . 3  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
2018, 19sseqtr4i 3324 . 2  |-  dom  ~~>v  C_  Cauchy
21 relres 5114 . . . 4  |-  Rel  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
224releqi 4900 . . . 4  |-  ( Rel  ~~>v  <->  Rel  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2321, 22mpbir 201 . . 3  |-  Rel  ~~>v
2423releldmi 5046 . 2  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  dom 
~~>v  )
2520, 24sseldi 3289 1  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    i^i cin 3262    C_ wss 3263   <.cop 3760   class class class wbr 4153   dom cdm 4818    |` cres 4820   Rel wrel 4823   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^m cmap 6954   NNcn 9932   * Metcxmt 16612   MetOpencmopn 16617   ~~> tclm 17212   Caucca 19077   IndMetcims 21918   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272   normhcno 22274   Cauchyccau 22277    ~~>v chli 22278
This theorem is referenced by:  isch3  22592  chscllem2  22988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-lm 17215  df-haus 17301  df-cau 19080  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-hnorm 22319  df-hvsub 22322  df-hlim 22323  df-hcau 22324
  Copyright terms: Public domain W3C validator