HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Unicode version

Theorem hlimcaui 21812
Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
41, 2, 3hhlm 21774 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
5 resss 4978 . . . . . . 7  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
64, 5eqsstri 3209 . . . . . 6  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
7 dmss 4877 . . . . . 6  |-  (  ~~>v  C_  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  ->  dom  ~~>v  C_ 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  C_  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )
91, 2hhxmet 21750 . . . . . 6  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )
103lmcau 18734 . . . . . 6  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )  ->  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
128, 11sstri 3189 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( Cau `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )
134dmeqi 4879 . . . . . 6  |-  dom  ~~>v  =  dom  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
14 dmres 4975 . . . . . 6  |-  dom  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
1513, 14eqtri 2304 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
16 inss1 3390 . . . . 5  |-  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )  C_  ( ~H  ^m  NN )
1715, 16eqsstri 3209 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( ~H  ^m  NN )
1812, 17ssini 3393 . . 3  |-  dom  ~~>v  C_  (
( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
191, 2hhcau 21773 . . 3  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
2018, 19sseqtr4i 3212 . 2  |-  dom  ~~>v  C_  Cauchy
21 relres 4982 . . . 4  |-  Rel  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
224releqi 4771 . . . 4  |-  ( Rel  ~~>v  <->  Rel  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2321, 22mpbir 200 . . 3  |-  Rel  ~~>v
2423releldmi 4914 . 2  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  dom 
~~>v  )
2520, 24sseldi 3179 1  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1685    i^i cin 3152    C_ wss 3153   <.cop 3644   class class class wbr 4024    dom cdm 4688    |` cres 4690   Rel wrel 4693   ` cfv 5221  (class class class)co 5820    ^m cmap 6768   NNcn 9742   * Metcxmt 16365   MetOpencmopn 16368   ~~> tclm 16952   Caucca 18675   IndMetcims 21141   ~Hchil 21495    +h cva 21496    .h csm 21497   normhcno 21499   Cauchyccau 21502    ~~>v chli 21503
This theorem is referenced by:  isch3  21817  chscllem2  22213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hvcom 21577  ax-hvass 21578  ax-hv0cl 21579  ax-hvaddid 21580  ax-hfvmul 21581  ax-hvmulid 21582  ax-hvmulass 21583  ax-hvdistr1 21584  ax-hvdistr2 21585  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his2 21658  ax-his3 21659  ax-his4 21660
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-icc 10659  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-topgen 13340  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-lm 16955  df-haus 17039  df-cau 18678  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-hnorm 21544  df-hvsub 21547  df-hlim 21548  df-hcau 21549
  Copyright terms: Public domain W3C validator