HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimf Unicode version

Theorem hlimf 21819
Description: Function-like behavior of the convergence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimf  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H

Proof of Theorem hlimf
StepHypRef Expression
1 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
31, 2hhxmet 21756 . . . . . 6  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )
4 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
54methaus 18068 . . . . . 6  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  e. 
Haus )
6 lmfun 17111 . . . . . 6  |-  ( (
MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) ) )
73, 5, 6mp2b 9 . . . . 5  |-  Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
8 funres 5295 . . . . 5  |-  ( Fun  ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  ->  Fun  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
101, 2, 4hhlm 21780 . . . . 5  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1110funeqi 5277 . . . 4  |-  ( Fun  ~~>v  <->  Fun  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
129, 11mpbir 200 . . 3  |-  Fun  ~~>v
13 funfn 5285 . . 3  |-  ( Fun  ~~>v  <->  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  )
1412, 13mpbi 199 . 2  |-  ~~>v  Fn  dom  ~~>v
15 funfvbrb 5640 . . . . 5  |-  ( Fun  ~~>v 
->  ( x  e.  dom  ~~>v  <->  x  ~~>v  (  ~~>v  `  x )
) )
1612, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  ~~>v  <->  x  ~~>v  ( 
~~>v  `  x ) )
17 fvex 5541 . . . . 5  |-  (  ~~>v  `  x )  e.  _V
1817hlimveci 21771 . . . 4  |-  ( x 
~~>v  (  ~~>v  `  x )  ->  (  ~~>v  `  x )  e.  ~H )
1916, 18sylbi 187 . . 3  |-  ( x  e.  dom  ~~>v  ->  (  ~~>v 
`  x )  e. 
~H )
2019rgen 2610 . 2  |-  A. x  e.  dom  ~~>v  (  ~~>v  `  x
)  e.  ~H
21 ffnfv 5687 . 2  |-  (  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H  <->  (  ~~>v  Fn  dom  ~~>v  /\ 
A. x  e.  dom  ~~>v  (  ~~>v  `  x )  e.  ~H ) )
2214, 20, 21mpbir2an 886 1  |-  ~~>v  : dom  ~~>v  --> ~H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    e. wcel 1686   A.wral 2545   <.cop 3645   class class class wbr 4025   dom cdm 4691    |` cres 4693   Fun wfun 5251    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ^m cmap 6774   NNcn 9748   * Metcxmt 16371   MetOpencmopn 16374   ~~> tclm 16958   Hauscha 17038   IndMetcims 21149   ~Hchil 21501    +h cva 21502    .h csm 21503   normhcno 21505    ~~>v chli 21509
This theorem is referenced by:  hlimuni  21820  hhsscms  21858  occllem  21884  occl  21885  chscllem2  22219  chscllem4  22221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819  ax-hilex 21581  ax-hfvadd 21582  ax-hvcom 21583  ax-hvass 21584  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvmulass 21589  ax-hvdistr1 21590  ax-hvdistr2 21591  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-icc 10665  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-topgen 13346  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-lm 16961  df-haus 17045  df-grpo 20860  df-gid 20861  df-ginv 20862  df-gdiv 20863  df-ablo 20951  df-vc 21104  df-nv 21150  df-va 21153  df-ba 21154  df-sm 21155  df-0v 21156  df-vs 21157  df-nmcv 21158  df-ims 21159  df-hnorm 21550  df-hvsub 21553  df-hlim 21554
  Copyright terms: Public domain W3C validator