Theorem hlimseq 9057

Description: A sequence with a limit on a Hilbert space is a sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
hlim.1	|- F e. V
hlim.2	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
hlimseq	|- (F ~~>v A -> F:NN-->H~)

Proof of Theorem hlimseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 |- F e. V
2		hlim.2	. . . 4 |- A e. V
3	1, 2	hlim 9056	. . 3 |- (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))
4	3	pm3.26bi 322	. 2 |- (F ~~>v A -> (F:NN-->H~ /\ A e. H~))
5	4	pm3.26d 321	1 |- (F ~~>v A -> F:NN-->H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  H~chil 8788   -h cmv 8792  normhcno 8794   ~~>v chli 8796

This theorem is referenced by:  hhcms 9072  hlimcaui 9106  hlimunii 9108  projlem25 9210

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-hlim 8841

Copyright terms: Public domain