Theorem hlimuniii 9384

Description: A Hilbert space sequence converges to at most one limit.

Hypotheses

Ref	Expression
hlimuni.1	|- A e. V
hlimuni.2	|- B e. V
hlimuni.3	|- F e. V
hlimunii.3	|- (F ~~>v A /\ F ~~>v B)

Assertion

Ref	Expression
hlimuniii	|- A = B

Proof of Theorem hlimuniii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn2ge 6087	. . . . 5 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
2	1	rgen2a 1745	. . . 4 |- A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z)
3		hlimunii.3	. . . . . . . . . 10 |- (F ~~>v A /\ F ~~>v B)
4	3	pm3.26i 318	. . . . . . . . 9 |- F ~~>v A
5		hlimuni.3	. . . . . . . . . 10 |- F e. V
6		hlimuni.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
7	5, 6	hlimveci 9334	. . . . . . . . 9 |- (F ~~>v A -> A e. H~)
8	4, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- A e. H~
9	3	pm3.27i 322	. . . . . . . . 9 |- F ~~>v B
10		hlimuni.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. V
11	5, 10	hlimveci 9334	. . . . . . . . 9 |- (F ~~>v B -> B e. H~)
12	9, 11	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- B e. H~
13	8, 12	hvsubcli 9166	. . . . . . 7 |- (A -h B) e. H~
14	13	normcli 9274	. . . . . 6 |- (normh` (A -h B)) e. RR
15		2re 6125	. . . . . 6 |- 2 e. RR
16		2pos 6135	. . . . . 6 |- 0 < 2
17	14, 15, 16	divgt0i2i 6003	. . . . 5 |- (0 < (normh` (A -h B)) -> 0 < ((normh` (A -h B)) / 2))
18		2ne0 6136	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
19	14, 15, 18	redivcli 5938	. . . . . . 7 |- ((normh` (A -h B)) / 2) e. RR
20	5, 6	hlimconvi 9335	. . . . . . . 8 |- (F ~~>v A -> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))
21	4, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))
22		breq2 2696	. . . . . . . . 9 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> (0 < x <-> 0 < ((normh` (A -h B)) / 2)))
23		breq2 2696	. . . . . . . . . . 11 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < x <-> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
24	23	imbi2d 615	. . . . . . . . . 10 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x) <-> (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
25	24	rexralbidv 1728	. . . . . . . . 9 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
26	22, 25	imbi12d 629	. . . . . . . 8 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)) <-> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
27	26	rcla4v 1919	. . . . . . 7 |- (((normh` (A -h B)) / 2) e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)) -> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
28	19, 21, 27	mp2 43	. . . . . 6 |- (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
29	5, 10	hlimconvi 9335	. . . . . . . 8 |- (F ~~>v B -> A.x e. RR (0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x)))
30	9, 29	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- A.x e. RR (0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x))
31		breq2 2696	. . . . . . . . . . 11 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((normh` ((F` z) -h B)) < x <-> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
32	31	imbi2d 615	. . . . . . . . . 10 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x) <-> (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
33	32	rexralbidv 1728	. . . . . . . . 9 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> (E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x) <-> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
34	22, 33	imbi12d 629	. . . . . . . 8 |- (x = ((normh` (A -h B)) / 2) -> ((0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x)) <-> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
35	34	rcla4v 1919	. . . . . . 7 |- (((normh` (A -h B)) / 2) e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < x)) -> (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))))
36	19, 30, 35	mp2 43	. . . . . 6 |- (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
37	28, 36	jca 286	. . . . 5 |- (0 < ((normh` (A -h B)) / 2) -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
38		r19.26 1796	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. NN ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) <-> (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
39		con3 94	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y <_ z /\ w <_ z) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> (-. ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> -. (y <_ z /\ w <_ z)))
40	14	ltnri 5763	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))
41	5, 6	hlimseqi 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F ~~>v A -> F:NN-->H~)
42	4, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F:NN-->H~
43	42	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. NN -> (F` z) e. H~)
44		normsub 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` z) e. H~ /\ A e. H~) -> (normh` ((F` z) -h A)) = (normh` (A -h (F` z))))
45	8, 44	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` z) e. H~ -> (normh` ((F` z) -h A)) = (normh` (A -h (F` z))))
46	43, 45	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. NN -> (normh` ((F` z) -h A)) = (normh` (A -h (F` z))))
47	46	breq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) <-> (normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
48	47	anbi1d 620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) <-> ((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
49		norm3lemt 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ ((F` z) e. H~ /\ (normh` (A -h B)) e. RR)) -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
50	8, 12, 49	mpanl12 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` z) e. H~ /\ (normh` (A -h B)) e. RR) -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
51	14, 50	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` z) e. H~ -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
52	43, 51	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (((normh` (A -h (F` z))) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
53	48, 52	sylbid 201	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) -> (normh` (A -h B)) < (normh` (A -h B))))
54	40, 53	mtoi 106	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> -. ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2)))
55	39, 54	syl5com 52	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (((y <_ z /\ w <_ z) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> -. (y <_ z /\ w <_ z)))
56		prth 559	. . . . . . . . . . 11 |- (((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> ((y <_ z /\ w <_ z) -> ((normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2) /\ (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
57	55, 56	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> (((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> -. (y <_ z /\ w <_ z)))
58	57	r19.20i 1750	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. NN ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
59	38, 58	sylbir 199	. . . . . . . 8 |- ((A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
60	59	r19.22si 1780	. . . . . . 7 |- (E.w e. NN (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
61	60	r19.22si 1780	. . . . . 6 |- (E.y e. NN E.w e. NN (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> E.y e. NN E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z))
62		reeanv 1824	. . . . . 6 |- (E.y e. NN E.w e. NN (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) <-> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))))
63		ralnex 1699	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
64	63	rexbii 1714	. . . . . . . . 9 |- (E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> E.w e. NN -. E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
65		rexnal 1700	. . . . . . . . 9 |- (E.w e. NN -. E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
66	64, 65	bitri 171	. . . . . . . 8 |- (E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
67	66	rexbii 1714	. . . . . . 7 |- (E.y e. NN E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> E.y e. NN -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
68		rexnal 1700	. . . . . . 7 |- (E.y e. NN -. A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
69	67, 68	bitri 171	. . . . . 6 |- (E.y e. NN E.w e. NN A.z e. NN -. (y <_ z /\ w <_ z) <-> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
70	61, 62, 69	3imtr3i 216	. . . . 5 |- ((E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < ((normh` (A -h B)) / 2)) /\ E.w e. NN A.z e. NN (w <_ z -> (normh` ((F` z) -h B)) < ((normh` (A -h B)) / 2))) -> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
71	17, 37, 70	3syl 20	. . . 4 |- (0 < (normh` (A -h B)) -> -. A.y e. NN A.w e. NN E.z e. NN (y <_ z /\ w <_ z))
72	2, 71	mt2 108	. . 3 |- -. 0 < (normh` (A -h B))
73		normgt0 9270	. . . . 5 |- ((A -h B) e. H~ -> ((A -h B) =/= 0h <-> 0 < (normh` (A -h B))))
74	13, 73	ax-mp 7	. . . 4 |- ((A -h B) =/= 0h <-> 0 < (normh` (A -h B)))
75	74	necon1bbii 1661	. . 3 |- (-. 0 < (normh` (A -h B)) <-> (A -h B) = 0h)
76	72, 75	mpbi 187	. 2 |- (A -h B) = 0h
77	8, 12	hvsubeq0i 9205	. 2 |- ((A -h B) = 0h <-> A = B)
78	76, 77	mpbi 187	1 |- A = B

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   class class class wbr 2692  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  RRcr 5387  0cc0 5388   / cdiv 5448   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640  2c2 6107  H~chil 9063  0hc0v 9066   -h cmv 9067  normhcno 9069   ~~>v chli 9071

This theorem is referenced by:  hlimunii 9385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770  ax-hfvadd 9145  ax-hvcom 9146  ax-hvass 9147  ax-hv0cl 9148  ax-hvaddid 9149  ax-hfvmul 9150  ax-hvmulid 9151  ax-hvmulass 9152  ax-hvdistr1 9153  ax-hvdistr2 9154  ax-hvmul0 9155  ax-hfi 9222  ax-his1 9225  ax-his2 9226  ax-his3 9227  ax-his4 9228

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-4 6118  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955  df-hnorm 9112  df-hvsub 9115  df-hlim 9116

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