Theorem hlmulid 8590

Description: Hilbert space scalar multiplication by one.

Hypotheses

Ref	Expression
hlmulf.1	|- X = (Base` U)
hlmulf.4	|- S = (.s` U)

Assertion

Ref	Expression
hlmulid	|- ((U e. CHil /\ A e. X) -> (1SA) = A)

Proof of Theorem hlmulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlmulf.1	. . 3 |- X = (Base` U)
2		hlmulf.4	. . 3 |- S = (.s` U)
3	1, 2	nvsid 8233	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
4		hlnv 8579	. 2 |- (U e. CHil -> U e. NrmCVec)
5	3, 4	sylan 448	1 |- ((U e. CHil /\ A e. X) -> (1SA) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  1c1 5222  NrmCVeccnv 8188  Basecba 8190  .scns 8191  CHilchl 8573

This theorem is referenced by:  axhvmulid 8842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-grp 8020  df-gid 8021  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-nm 8204  df-bn 8507  df-hl 8574

Copyright terms: Public domain