MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeores Unicode version

Theorem hmeores 17725
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 17714 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 17272 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 649 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 17228 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2388 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 16922 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 189 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 4832 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  ( F  |`  Y )
1211eqimss2i 3347 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 5157 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 17233 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
17 frn 5538 . . . . . 6  |-  ( F : X --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1914, 18syl5ss 3303 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
20 cnrest2 17273 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2110, 13, 19, 20syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
225, 21mpbid 202 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
23 hmeocnvcn 17715 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2423adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
258, 3cnf 17233 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F : U. K --> X )
27 ffun 5534 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
28 funcnvres 5463 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2926, 27, 283syl 19 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
308cnrest 17272 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
3124, 19, 30syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3229, 31eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
33 cntop1 17227 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
353toptopon 16922 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3634, 35sylib 189 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
37 dfdm4 5004 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
38 fssres 5551 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3916, 38sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
40 fdm 5536 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  Y ) : Y --> U. K  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4237, 41syl5eqr 2434 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
43 eqimss 3344 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
45 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
46 cnrest2 17273 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4832, 47mpbid 202 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
49 ishmeo 17713 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 646 1  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   U.cuni 3958   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   ran crn 4820    |` cres 4821   "cima 4822   Fun wfun 5389   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ↾t crest 13576   Topctop 16882  TopOnctopon 16883    Cn ccn 17211    Homeo chmeo 17707
This theorem is referenced by:  cvmsss2  24741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-fin 7050  df-fi 7352  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cn 17214  df-hmeo 17709
  Copyright terms: Public domain W3C validator