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Theorem hmeores 17456
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 17445 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 17007 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 650 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 16965 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2284 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 16665 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 190 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 4701 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  (  F  |`  Y )
1211eqimss2i 3234 . . . . 5  |-  ran  (  F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 12 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  (  F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 5024 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 16970 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
17 frn 5360 . . . . . 6  |-  ( F : X --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1914, 18syl5ss 3191 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
20 cnrest2 17008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  (  F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2110, 13, 19, 20syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
225, 21mpbid 203 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
23 hmeocnvcn 17446 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2423adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
258, 3cnf 16970 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
2624, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F : U. K --> X )
27 ffun 5356 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
28 funcnvres 5286 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2926, 27, 283syl 20 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
308cnrest 17007 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
3124, 19, 30syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3229, 31eqeltrd 2358 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
33 cntop1 16964 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
342, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
353toptopon 16665 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3634, 35sylib 190 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
37 dfdm4 4871 . . . . . 6  |-  dom  (  F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
38 fssres 5373 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3916, 38sylancom 650 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
40 fdm 5358 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  Y ) : Y --> U. K  ->  dom  (  F  |`  Y )  =  Y )
4139, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  (  F  |`  Y )  =  Y )
4237, 41syl5eqr 2330 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
43 eqimss 3231 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4442, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
45 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
46 cnrest2 17008 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4832, 47mpbid 203 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
49 ishmeo 17444 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 647 1  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    C_ wss 3153   U.cuni 3828   `'ccnv 4687   dom cdm 4688   ran crn 4689    |` cres 4690   "cima 4691   Fun wfun 5215   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   ↾t crest 13319   Topctop 16625  TopOnctopon 16626    Cn ccn 16948    Homeo chmeo 17438
This theorem is referenced by:  cvmsss2  23209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-fin 6862  df-fi 7160  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cn 16951  df-hmeo 17440
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