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Theorem hmeores 17462
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hmeores  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )

Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 17451 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 hmeores.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
43cnrest 17013 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  Y  C_  X )  -> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
52, 4sylancom 648 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K ) )
6 cntop2 16971 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
98toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
107, 9sylib 188 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
11 df-ima 4702 . . . . . 6  |-  ( F
" Y )  =  ran  ( F  |`  Y )
1211eqimss2i 3233 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  Y )  C_  ( F " Y )
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y ) )
14 imassrn 5025 . . . . 5  |-  ( F
" Y )  C_  ran  F
153, 8cnf 16976 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> U. K )
162, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  F : X --> U. K )
17 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( F : X --> U. K  ->  ran  F  C_  U. K
)
1816, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  F 
C_  U. K )
1914, 18syl5ss 3190 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F " Y )  C_  U. K )
20 cnrest2 17014 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( F  |`  Y ) 
C_  ( F " Y )  /\  ( F " Y )  C_  U. K )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
2110, 13, 19, 20syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  K )  <-> 
( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) ) ) )
225, 21mpbid 201 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F
" Y ) ) ) )
23 hmeocnvcn 17452 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J ) )
258, 3cnf 16976 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  ->  `' F : U. K --> X )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' F : U. K --> X )
27 ffun 5391 . . . . 5  |-  ( `' F : U. K --> X  ->  Fun  `' F
)
28 funcnvres 5321 . . . . 5  |-  ( Fun  `' F  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
2926, 27, 283syl 18 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  =  ( `' F  |`  ( F " Y
) ) )
308cnrest 17013 . . . . 5  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  ( F " Y ) 
C_  U. K )  -> 
( `' F  |`  ( F " Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y
) )  Cn  J
) )
3124, 19, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' F  |`  ( F
" Y ) )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
3229, 31eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J ) )
33 cntop1 16970 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
342, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  Top )
353toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3634, 35sylib 188 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
37 dfdm4 4872 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  Y )  =  ran  `' ( F  |`  Y )
38 fssres 5408 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. K  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
3916, 38sylancom 648 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y ) : Y --> U. K )
40 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  Y ) : Y --> U. K  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4139, 40syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  dom  ( F  |`  Y )  =  Y )
4237, 41syl5eqr 2329 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y )
43 eqimss 3230 . . . . 5  |-  ( ran  `' ( F  |`  Y )  =  Y  ->  ran  `' ( F  |`  Y )  C_  Y )
4442, 43syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y )
45 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  Y  C_  X )
46 cnrest2 17014 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  `' ( F  |`  Y ) 
C_  Y  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  J )  <->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F
" Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
4832, 47mpbid 201 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) )
49 ishmeo 17450 . 2  |-  ( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) )  <-> 
( ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  ( Kt  ( F " Y ) ) )  /\  `' ( F  |`  Y )  e.  ( ( Kt  ( F " Y ) )  Cn  ( Jt  Y ) ) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 645 1  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  Y  C_  X )  ->  ( F  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y ) 
Homeo  ( Kt  ( F " Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444
This theorem is referenced by:  cvmsss2  23805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446
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