HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopadj2 Unicode version

Theorem hmopadj2 22446
Description: An operator is Hermitian iff it is self-adjoint. Definition of Hermitian in [Halmos] p. 41. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopadj2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( T  e.  HrmOp  <->  ( adjh `  T )  =  T ) )

Proof of Theorem hmopadj2
StepHypRef Expression
1 hmopadj 22444 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( adjh `  T )  =  T )
2 dmadjop 22393 . . . . 5  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  T : ~H --> ~H )
32adantr 453 . . . 4  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  =  T )  ->  T : ~H --> ~H )
4 adj1 22438 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  ( T `  y )
)  =  ( ( ( adjh `  T
) `  x )  .ih  y ) )
543expb 1157 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  y
) )  =  ( ( ( adjh `  T
) `  x )  .ih  y ) )
65adantlr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  =  T )  /\  ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( ( adjh `  T ) `  x
)  .ih  y )
)
7 fveq1 5422 . . . . . . . 8  |-  ( (
adjh `  T )  =  T  ->  ( (
adjh `  T ) `  x )  =  ( T `  x ) )
87oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( (
adjh `  T )  =  T  ->  ( ( ( adjh `  T
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)
98ad2antlr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  =  T )  /\  ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
( ( adjh `  T
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)
106, 9eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  =  T )  /\  ( x  e. 
~H  /\  y  e.  ~H ) )  ->  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
) )
1110ralrimivva 2606 . . . 4  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  =  T )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
) )
12 elhmop 22378 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y ) ) )
133, 11, 12sylanbrc 648 . . 3  |-  ( ( T  e.  dom  adjh  /\  ( adjh `  T
)  =  T )  ->  T  e.  HrmOp )
1413ex 425 . 2  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( ( adjh `  T
)  =  T  ->  T  e.  HrmOp ) )
151, 14impbid2 197 1  |-  ( T  e.  dom  adjh  ->  ( T  e.  HrmOp  <->  ( adjh `  T )  =  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   dom cdm 4626   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   ~Hchil 21424    .ih csp 21427   HrmOpcho 21455   adjhcado 21460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-2 9737  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-hvsub 21476  df-hmop 22349  df-adjh 22354
  Copyright terms: Public domain W3C validator