Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Unicode version

Theorem hmopidmpji 23643
 Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 23642 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1
hmopidmch.2
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji

Proof of Theorem hmopidmpji
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6
2 hmoplin 23433 . . . . . 6
31, 2ax-mp 8 . . . . 5
43lnopfi 23460 . . . 4
5 ffn 5582 . . . 4
64, 5ax-mp 8 . . 3
7 hmopidmch.2 . . . . 5
81, 7hmopidmchi 23642 . . . 4
98pjfni 23191 . . 3
10 eqfnfv 5818 . . 3
116, 9, 10mp2an 654 . 2
12 fnfvelrn 5858 . . . . 5
136, 12mpan 652 . . . 4
14 id 20 . . . . . 6
154ffvelrni 5860 . . . . . 6
16 hvsubcl 22508 . . . . . 6
1714, 15, 16syl2anc 643 . . . . 5
18 simpl 444 . . . . . . . . 9
1915adantr 452 . . . . . . . . 9
204ffvelrni 5860 . . . . . . . . . 10
2120adantl 453 . . . . . . . . 9
22 his2sub 22582 . . . . . . . . 9
2318, 19, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8
24 hmop 23413 . . . . . . . . . . . 12
251, 24mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11
2620, 25sylan2 461 . . . . . . . . . 10
277fveq1i 5720 . . . . . . . . . . . . 13
284, 4hocoi 23255 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28syl5reqr 2482 . . . . . . . . . . . 12
3029adantl 453 . . . . . . . . . . 11
3130oveq2d 6088 . . . . . . . . . 10
3226, 31eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9
3332oveq2d 6088 . . . . . . . 8
34 hicl 22570 . . . . . . . . . 10
3520, 34sylan2 461 . . . . . . . . 9
3635subidd 9388 . . . . . . . 8
3723, 33, 363eqtrd 2471 . . . . . . 7
3837ralrimiva 2781 . . . . . 6
39 oveq2 6080 . . . . . . . . 9
4039eqeq1d 2443 . . . . . . . 8
4140ralrn 5864 . . . . . . 7
426, 41ax-mp 8 . . . . . 6
4338, 42sylibr 204 . . . . 5
448chssii 22722 . . . . . 6
45 ocel 22771 . . . . . 6
4644, 45ax-mp 8 . . . . 5
4717, 43, 46sylanbrc 646 . . . 4
488pjcompi 23162 . . . 4
4913, 47, 48syl2anc 643 . . 3
50 hvpncan3 22532 . . . . 5
5115, 14, 50syl2anc 643 . . . 4
5251fveq2d 5723 . . 3
5349, 52eqtr3d 2469 . 2
5411, 53mprgbir 2768 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312   crn 4870   ccom 4873   wfn 5440  wf 5441  cfv 5445  (class class class)co 6072  cc 8977  cc0 8979   cmin 9280  chil 22410   cva 22411   csp 22413   cmv 22416  cort 22421   cpjh 22428  clo 22438  cho 22441 This theorem is referenced by:  hmopidmpj  23645 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-dc 8315  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hvcom 22492  ax-hvass 22493  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvdistr1 22499  ax-hvdistr2 22500  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his2 22573  ax-his3 22574  ax-his4 22575  ax-hcompl 22692 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-lm 17281  df-t1 17366  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-fcls 17961  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-subgo 21878  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-dip 22185  df-ssp 22209  df-lno 22233  df-nmoo 22234  df-blo 22235  df-0o 22236  df-ph 22302  df-cbn 22353  df-hlo 22376  df-hnorm 22459  df-hba 22460  df-hvsub 22462  df-hlim 22463  df-hcau 22464  df-sh 22697  df-ch 22712  df-oc 22742  df-ch0 22743  df-shs 22798  df-pjh 22885  df-h0op 23239  df-nmop 23330  df-cnop 23331  df-lnop 23332  df-bdop 23333  df-unop 23334  df-hmop 23335
 Copyright terms: Public domain W3C validator