Theorem hmpher 10517

Description: "Is homeomorph" to is an equivalence relation.

Assertion

Ref	Expression
hmpher	|- Er ~=

Proof of Theorem hmpher

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1811	. . . . 5 |- x e. V
2	1	dmhmpha 10515	. . . 4 |- (x ~= y -> x e. Top)
3		visset 1811	. . . . 5 |- y e. V
4	1, 3	rnhmpha 10516	. . . 4 |- (x ~= y -> y e. Top)
5	2, 4	jca 288	. . 3 |- (x ~= y -> (x e. Top /\ y e. Top))
6		hmphsyma 10509	. . 3 |- ((x e. Top /\ y e. Top) -> (x ~= y -> y ~= x))
7	5, 6	mpcom 49	. 2 |- (x ~= y -> y ~= x)
8	2	adantr 389	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> x e. Top)
9	3	dmhmpha 10515	. . . . 5 |- (y ~= z -> y e. Top)
10	9	adantl 388	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> y e. Top)
11		visset 1811	. . . . . 6 |- z e. V
12	3, 11	rnhmpha 10516	. . . . 5 |- (y ~= z -> z e. Top)
13	12	adantl 388	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> z e. Top)
14	8, 10, 13	3jca 818	. . 3 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> (x e. Top /\ y e. Top /\ z e. Top))
15		hmphtr 10512	. . 3 |- ((x e. Top /\ y e. Top /\ z e. Top) -> ((x ~= y /\ y ~= z) -> x ~= z))
16	14, 15	mpcom 49	. 2 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> x ~= z)
17	7, 16	ster 4265	1 |- Er ~=

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 957   class class class wbr 2616  Er wer 4255  Topctop 7567   ~= chomeo 10495

This theorem is referenced by:  hmphsymv 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-er 4258  df-homeo 10496  df-hmph 10504

Copyright terms: Public domain