Theorem hmphtr 10512

Description: "Is homeomorph to" is transitive.

Assertion

Ref	Expression
hmphtr	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((J ~= K /\ K ~= L) -> J ~= L))

Proof of Theorem hmphtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1533	. . . . . . . . . 10 |- (h = (g o. f) -> (h e. (J Homeo L) <-> (g o. f) e. (J Homeo L)))
2	1	cla4egv 1861	. . . . . . . . 9 |- ((g o. f) e. V -> ((g o. f) e. (J Homeo L) -> E.h h e. (J Homeo L)))
3		coexg 3521	. . . . . . . . . 10 |- ((g e. (K Homeo L) /\ f e. (J Homeo K)) -> (g o. f) e. V)
4	3	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (g e. (K Homeo L) /\ f e. (J Homeo K))) -> (g o. f) e. V)
5		cmphmp 10502	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((f e. (J Homeo K) /\ g e. (K Homeo L)) -> (g o. f) e. (J Homeo L)))
6	5	ancomsd 437	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((g e. (K Homeo L) /\ f e. (J Homeo K)) -> (g o. f) e. (J Homeo L)))
7	6	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (g e. (K Homeo L) /\ f e. (J Homeo K))) -> (g o. f) e. (J Homeo L))
8	2, 4, 7	sylc 68	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) /\ (g e. (K Homeo L) /\ f e. (J Homeo K))) -> E.h h e. (J Homeo L))
9	8	exp32 377	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (g e. (K Homeo L) -> (f e. (J Homeo K) -> E.h h e. (J Homeo L))))
10	9	19.23adv 1214	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (E.g g e. (K Homeo L) -> (f e. (J Homeo K) -> E.h h e. (J Homeo L))))
11	10	com23 32	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (f e. (J Homeo K) -> (E.g g e. (K Homeo L) -> E.h h e. (J Homeo L))))
12	11	19.23adv 1214	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (E.f f e. (J Homeo K) -> (E.g g e. (K Homeo L) -> E.h h e. (J Homeo L))))
13	12	imp3a 361	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((E.f f e. (J Homeo K) /\ E.g g e. (K Homeo L)) -> E.h h e. (J Homeo L)))
14		hmph 10505	. . . 4 |- ((J e. Top /\ L e. Top) -> (J ~= L <-> E.h h e. (J Homeo L)))
15	14	3adant2 797	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (J ~= L <-> E.h h e. (J Homeo L)))
16	13, 15	sylibrd 204	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((E.f f e. (J Homeo K) /\ E.g g e. (K Homeo L)) -> J ~= L))
17		hmph 10505	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J ~= K <-> E.f f e. (J Homeo K)))
18	17	biimpd 153	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J ~= K -> E.f f e. (J Homeo K)))
19	18	3adant3 798	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (J ~= K -> E.f f e. (J Homeo K)))
20		hmph 10505	. . . 4 |- ((K e. Top /\ L e. Top) -> (K ~= L <-> E.g g e. (K Homeo L)))
21	20	biimpd 153	. . 3 |- ((K e. Top /\ L e. Top) -> (K ~= L -> E.g g e. (K Homeo L)))
22	21	3adant1 796	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> (K ~= L -> E.g g e. (K Homeo L)))
23	16, 19, 22	syl2and 459	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ L e. Top) -> ((J ~= K /\ K ~= L) -> J ~= L))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1809   class class class wbr 2616   o. ccom 3171  (class class class)co 3960  Topctop 7567   Homeo chomeosm 10494   ~= chomeo 10495

This theorem is referenced by:  hmpher 10517

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-homeo 10496  df-hmph 10504

Copyright terms: Public domain