HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho0val Unicode version

Theorem ho0val 22291
Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho0val  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  0h )

Proof of Theorem ho0val
StepHypRef Expression
1 choc1 21867 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ~H )  =  0H
21fveq2i 5461 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  ( _|_ `  ~H ) )  =  ( proj  h `  0H )
3 df-h0op 22289 . . . . 5  |-  0hop  =  ( proj  h `  0H )
42, 3eqtr4i 2281 . . . 4  |-  ( proj 
h `  ( _|_ `  ~H ) )  = 
0hop
54fveq1i 5459 . . 3  |-  ( (
proj  h `  ( _|_ `  ~H ) ) `  A )  =  (
0hop `  A )
6 helch 21784 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
7 pjo 22211 . . . 4  |-  ( ( ~H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  ( _|_ `  ~H )
) `  A )  =  ( ( (
proj  h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj  h `  ~H ) `  A )
) )
86, 7mpan 654 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  ( _|_ `  ~H ) ) `
 A )  =  ( ( ( proj 
h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj  h `  ~H ) `  A )
) )
95, 8syl5eqr 2304 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  ( ( ( proj 
h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj  h `  ~H ) `  A )
) )
106pjhcli 21958 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  ~H ) `  A )  e.  ~H )
11 hvsubid 21566 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  ~H ) `  A )  e.  ~H  ->  ( (
( proj  h `  ~H ) `  A )  -h  ( ( proj  h `  ~H ) `  A ) )  =  0h )
1210, 11syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  ~H ) `  A )  -h  ( ( proj 
h `  ~H ) `  A ) )  =  0h )
139, 12eqtrd 2290 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   ~Hchil 21460   0hc0v 21465    -h cmv 21466   CHcch 21470   _|_cort 21471   0Hc0h 21476   proj 
hcpjh 21478   0hopch0o 21484
This theorem is referenced by:  df0op2  22293  hoaddid1i  22327  ho0coi  22329  0cnop  22520  0hmop  22524  nmop0  22527  adj0  22535  nmlnop0iALT  22536  lnopco0i  22545  lnopeq0i  22548  nmopcoi  22636  leop3  22666  leoprf2  22668  leoprf  22669  idleop  22672  pjorthcoi  22710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hvcom 21542  ax-hvass 21543  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547  ax-hvmulass 21548  ax-hvdistr1 21549  ax-hvdistr2 21550  ax-hvmul0 21551  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his2 21623  ax-his3 21624  ax-his4 21625  ax-hcompl 21742
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-seq 11014  df-exp 11072  df-hash 11305  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-mulg 14455  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-lm 16922  df-haus 17006  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cfil 18644  df-cau 18645  df-cmet 18646  df-grpo 20819  df-gid 20820  df-ginv 20821  df-gdiv 20822  df-ablo 20910  df-subgo 20930  df-vc 21063  df-nv 21109  df-va 21112  df-ba 21113  df-sm 21114  df-0v 21115  df-vs 21116  df-nmcv 21117  df-ims 21118  df-dip 21235  df-ssp 21259  df-ph 21352  df-cbn 21403  df-hnorm 21509  df-hba 21510  df-hvsub 21512  df-hlim 21513  df-hcau 21514  df-sh 21747  df-ch 21762  df-oc 21792  df-ch0 21793  df-shs 21848  df-pjh 21935  df-h0op 22289
  Copyright terms: Public domain W3C validator