HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ho0val Unicode version

Theorem ho0val 22255
Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ho0val  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  0h )

Proof of Theorem ho0val
StepHypRef Expression
1 choc1 21831 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ~H )  =  0H
21fveq2i 5426 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  ( _|_ `  ~H ) )  =  ( proj  h `  0H )
3 df-h0op 22253 . . . . 5  |-  0hop  =  ( proj  h `  0H )
42, 3eqtr4i 2279 . . . 4  |-  ( proj 
h `  ( _|_ `  ~H ) )  = 
0hop
54fveq1i 5424 . . 3  |-  ( (
proj  h `  ( _|_ `  ~H ) ) `  A )  =  (
0hop `  A )
6 helch 21748 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
7 pjo 22193 . . . 4  |-  ( ( ~H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  ( _|_ `  ~H )
) `  A )  =  ( ( (
proj  h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj  h `  ~H ) `  A )
) )
86, 7mpan 654 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  ( _|_ `  ~H ) ) `
 A )  =  ( ( ( proj 
h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj  h `  ~H ) `  A )
) )
95, 8syl5eqr 2302 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  ( ( ( proj 
h `  ~H ) `  A )  -h  (
( proj  h `  ~H ) `  A )
) )
106pjhcli 21922 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  ~H ) `  A )  e.  ~H )
11 hvsubid 21530 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  ~H ) `  A )  e.  ~H  ->  ( (
( proj  h `  ~H ) `  A )  -h  ( ( proj  h `  ~H ) `  A ) )  =  0h )
1210, 11syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  ~H ) `  A )  -h  ( ( proj 
h `  ~H ) `  A ) )  =  0h )
139, 12eqtrd 2288 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0hop `  A )  =  0h )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   ~Hchil 21424   0hc0v 21429    -h cmv 21430   CHcch 21434   _|_cort 21435   0Hc0h 21440   proj 
hcpjh 21442   0hopch0o 21448
This theorem is referenced by:  df0op2  22257  hoaddid1i  22291  ho0coi  22293  0cnop  22484  0hmop  22488  nmop0  22491  adj0  22499  nmlnop0iALT  22500  lnopco0i  22509  lnopeq0i  22512  nmopcoi  22600  leop3  22630  leoprf2  22632  leoprf  22633  idleop  22636  pjorthcoi  22674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cc 7994  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589  ax-hcompl 21706
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-lm 16886  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cfil 18608  df-cau 18609  df-cmet 18610  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-subgo 20894  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-dip 21199  df-ssp 21223  df-ph 21316  df-cbn 21367  df-hnorm 21473  df-hba 21474  df-hvsub 21476  df-hlim 21477  df-hcau 21478  df-sh 21711  df-ch 21726  df-oc 21756  df-ch0 21757  df-shs 21812  df-pjh 21899  df-h0op 22253
  Copyright terms: Public domain W3C validator