Theorem ho0valt 9633

Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111.

Assertion

Ref	Expression
ho0valt	|- (A e. H~ -> (0hop` A) = 0h)

Proof of Theorem ho0valt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helch 9071	. . . 4 |- H~ e. CH
2		pjot 9573	. . . 4 |- ((H~ e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` (_|_` H~))` A) = (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)))
3	1, 2	mpan 694	. . 3 |- (A e. H~ -> ((proj` (_|_` H~))` A) = (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)))
4		choc1 9246	. . . . . 6 |- (_|_` H~) = 0H
5	4	fveq2i 3722	. . . . 5 |- (proj` (_|_` H~)) = (proj` 0H)
6		df-h0op 9631	. . . . 5 |- 0hop = (proj` 0H)
7	5, 6	eqtr4 1496	. . . 4 |- (proj` (_|_` H~)) = 0hop
8	7	fveq1i 3720	. . 3 |- ((proj` (_|_` H~))` A) = (0hop` A)
9	3, 8	syl5eqr 1519	. 2 |- (A e. H~ -> (0hop` A) = (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)))
10	1	pjhcl 9207	. . 3 |- (A e. H~ -> ((proj` H~)` A) e. H~)
11		hvsubidt 8850	. . 3 |- (((proj` H~)` A) e. H~ -> (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)) = 0h)
12	10, 11	syl 10	. 2 |- (A e. H~ -> (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)) = 0h)
13	9, 12	eqtrd 1505	1 |- (A e. H~ -> (0hop` A) = 0h)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  H~chil 8743  0hc0v 8746   -h cmv 8747  CHcch 8753  _|_cort 8754  0Hc0h 8759  projcpj 8761  0_hopch0o 8767

This theorem is referenced by:  df0op2 9635  hoaddid1 9669  ho0co 9671  0cnop 9860  0hmop 9864  nmop0 9867  adj0 9875  nmlnop0ALT 9876  lnopco0 9885  lnopeq0 9888  lnopcon 9919  nmopco 9984  leop3t 10014  leoprf2t 10016  leoprft 10017  idleop 10020  pjorthco 10053

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907  ax-hcompl 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-clim 6928  df-sum 6933  df-top 7552  df-bases 7554  df-topgen 7555  df-cld 7623  df-ntr 7624  df-cls 7625  df-cn 7714  df-cnp 7715  df-haus 7742  df-met 7753  df-bl 7755  df-opn 7756  df-lm 7884  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184  df-ip 8312  df-ph 8431  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795  df-hlim 8796  df-hcau 8797  df-sh 9031  df-ch 9047  df-oc 9079  df-ch0 9080  df-pj 9192  df-h0op 9631

Copyright terms: Public domain