Theorem hoco 9685

Description: Composition of Hilbert space operators.

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	|- S:H~-->H~
hoeq.2	|- T:H~-->H~

Assertion

Ref	Expression
hoco	|- (A e. H~ -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))

Proof of Theorem hoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.2	. . . 4 |- T:H~-->H~
2	1	fdmi 3638	. . 3 |- dom T = H~
3	2	eleq2i 1541	. 2 |- (A e. dom T <-> A e. H~)
4		hoeq.1	. . . 4 |- S:H~-->H~
5		ffun 3635	. . . 4 |- (S:H~-->H~ -> Fun S)
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- Fun S
7		ffun 3635	. . . 4 |- (T:H~-->H~ -> Fun T)
8	1, 7	ax-mp 7	. . 3 |- Fun T
9		fvco 3780	. . 3 |- ((Fun S /\ Fun T /\ A e. dom T) -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))
10	6, 8, 9	mp3an12 908	. 2 |- (A e. dom T -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))
11	3, 10	sylbir 201	1 |- (A e. H~ -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  dom cdm 3176   o. ccom 3180  Fun wfun 3182  -->wf 3184  ` cfv 3188  H~chil 8783

This theorem is referenced by:  hococl 9686  hocadddir 9700  hocsubdir 9701  ho2co 9702  ho0co 9709  hoid1 9710  hoid1r 9711  hoddi 9909  lnopco 9923  lnopco0 9924  nmopco 10023  adjco 10028  nmopcoadj 10029  hmopidmchlem 10073  hmopidmpj 10075  pjsdi 10078  pjddi 10079  pjco 10081  pjinvar 10114  pjcohocl 10126  pjadj2co 10127  pj3lem1 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain