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Theorem hocsubdirt 9702
Description: Distributive law for Hilbert space operator difference.
Assertion
Ref Expression
hocsubdirt |- ((R:H~-->H~ /\ S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) -> ((R -op S) o. T) = ((R o. T) -op (S o. T)))
Proof of Theorem hocsubdirt
StepHypRef Expression
1 opreq1 3965 . . . 4 |- (R = if(R:H~-->H~, R, 0hop) -> (R -op S) = (if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op S))
21coeq1d 3282 . . 3 |- (R = if(R:H~-->H~, R, 0hop) -> ((R -op S) o. T) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op S) o. T))
3 coeq1 3278 . . . 4 |- (R = if(R:H~-->H~, R, 0hop) -> (R o. T) = (if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T))
43opreq1d 3972 . . 3 |- (R = if(R:H~-->H~, R, 0hop) -> ((R o. T) -op (S o. T)) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (S o. T)))
52, 4eqeq12d 1488 . 2 |- (R = if(R:H~-->H~, R, 0hop) -> (((R -op S) o. T) = ((R o. T) -op (S o. T)) <-> ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op S) o. T) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (S o. T))))
6 opreq2 3966 . . . 4 |- (S = if(S:H~-->H~, S, 0hop) -> (if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op S) = (if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)))
76coeq1d 3282 . . 3 |- (S = if(S:H~-->H~, S, 0hop) -> ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op S) o. T) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)) o. T))
8 coeq1 3278 . . . 4 |- (S = if(S:H~-->H~, S, 0hop) -> (S o. T) = (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. T))
98opreq2d 3973 . . 3 |- (S = if(S:H~-->H~, S, 0hop) -> ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (S o. T)) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. T)))
107, 9eqeq12d 1488 . 2 |- (S = if(S:H~-->H~, S, 0hop) -> (((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op S) o. T) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (S o. T)) <-> ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)) o. T) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. T))))
11 coeq2 3279 . . 3 |- (T = if(T:H~-->H~, T, 0hop) -> ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)) o. T) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)))
12 coeq2 3279 . . . 4 |- (T = if(T:H~-->H~, T, 0hop) -> (if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) = (if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)))
13 coeq2 3279 . . . 4 |- (T = if(T:H~-->H~, T, 0hop) -> (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. T) = (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)))
1412, 13opreq12d 3975 . . 3 |- (T = if(T:H~-->H~, T, 0hop) -> ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. T)) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)) -op (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop))))
1511, 14eqeq12d 1488 . 2 |- (T = if(T:H~-->H~, T, 0hop) -> (((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)) o. T) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. T) -op (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. T)) <-> ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)) -op (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)))))
16 ho0f 9668 . . . 4 |- 0hop:H~-->H~
1716elimf 3623 . . 3 |- if(R:H~-->H~, R, 0hop):H~-->H~
1816elimf 3623 . . 3 |- if(S:H~-->H~, S, 0hop):H~-->H~
1916elimf 3623 . . 3 |- if(T:H~-->H~, T, 0hop):H~-->H~
2017, 18, 19hocsubdir 9697 . 2 |- ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) -op if(S:H~-->H~, S, 0hop)) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)) = ((if(R:H~-->H~, R, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)) -op (if(S:H~-->H~, S, 0hop) o. if(T:H~-->H~, T, 0hop)))
215, 10, 15, 20dedth3h 2386 1 |- ((R:H~-->H~ /\ S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) -> ((R -op S) o. T) = ((R o. T) -op (S o. T)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 774   = wceq 955  ifcif 2359   o. ccom 3171  -->wf 3175  (class class class)co 3960  H~chil 8772   -op chod 8793  0hopch0o 8796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936  ax-hcompl 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-q 6211  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-ioo 6316  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-sum 6948  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574  df-cld 7642  df-ntr 7643  df-cls 7644  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-haus 7761  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775  df-lm 7905  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ip 8336  df-ph 8456  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824  df-hlim 8825  df-hcau 8826  df-sh 9064  df-ch 9080  df-oc 9112  df-ch0 9113  df-pj 9225  df-hodif 9498  df-h0op 9665
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