HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq2 Unicode version

Theorem hoeq2 22413
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  S  =  T
) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, T, y

Proof of Theorem hoeq2
StepHypRef Expression
1 ralcom 2702 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y )
) ) )
3 ffvelrn 5665 . . . . 5  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  y
)  e.  ~H )
4 ffvelrn 5665 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
5 hial2eq2 21688 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  ( S `  y )  =  ( T `  y ) ) )
6 hial2eq 21687 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )  <->  ( S `  y )  =  ( T `  y ) ) )
75, 6bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
83, 4, 7syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
98anandirs 804 . . 3  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `  y )  .ih  x
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
109ralbidva 2561 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
( S `  y
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 y )  .ih  x ) ) )
11 hoeq1 22412 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( ( S `  y )  .ih  x
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x )  <->  S  =  T ) )
122, 10, 113bitrd 270 1  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  S  =  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   ~Hchil 21501    .ih csp 21504
This theorem is referenced by:  adjcoi  22682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-hfvadd 21582  ax-hvcom 21583  ax-hvass 21584  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvdistr2 21591  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-2 9806  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-hvsub 21553
  Copyright terms: Public domain W3C validator