Theorem homclt 9524

Description: Closure of the scalar product of a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
homclt	|- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> ((A .op T)` B) e. H~)

Proof of Theorem homclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homvalt 9518	. 2 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> ((A .op T)` B) = (A .h (T` B)))
2		ffvelrn 3814	. . . . 5 |- ((T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> (T` B) e. H~)
3	2	anim2i 335	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (T:H~-->H~ /\ B e. H~)) -> (A e. CC /\ (T` B) e. H~))
4	3	3impb 829	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> (A e. CC /\ (T` B) e. H~))
5		hvmulclt 8883	. . 3 |- ((A e. CC /\ (T` B) e. H~) -> (A .h (T` B)) e. H~)
6	4, 5	syl 10	. 2 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> (A .h (T` B)) e. H~)
7	1, 6	eqeltrd 1548	1 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> ((A .op T)` B) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  H~chil 8788   .h csm 8790   .op chot 8808

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-homul 9507

Copyright terms: Public domain