Theorem homib 10724

Description: The homset which ((id` T)` A) belongs to. JFM CAT₁ th. 55.

Hypotheses

Ref	Expression
homib.1	|- O = dom (id` T)
homib.2	|- J = (id` T)
homib.3	|- H = (hom` T)

Assertion

Ref	Expression
homib	|- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. (H` <.A, A>.))

Proof of Theorem homib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3814	. . . 4 |- ((J:O-->dom (dom` T) /\ A e. O) -> (J` A) e. dom (dom` T))
2		eqid 1475	. . . . 5 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		eqid 1475	. . . . 5 |- (dom` T) = (dom` T)
4		homib.1	. . . . . 6 |- O = dom (id` T)
5		homib.2	. . . . . . . 8 |- J = (id` T)
6	5	eqcomi 1479	. . . . . . 7 |- (id` T) = J
7	6	dmeqi 3312	. . . . . 6 |- dom (id` T) = dom J
8	4, 7	eqtr 1495	. . . . 5 |- O = dom J
9	2, 3, 8, 5	idc 10700	. . . 4 |- (T e. Cat -> J:O-->dom (dom` T))
10	1, 9	sylan 448	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. dom (dom` T))
11		homib.3	. . . . 5 |- H = (hom` T)
12		eqid 1475	. . . . 5 |- (cod` T) = (cod` T)
13	2, 11, 3, 12	mrdmcd 10722	. . . 4 |- (T e. Cat -> ((J` A) e. dom (dom` T) -> (J` A) e. (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.)))
14	13	adantr 389	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((J` A) e. dom (dom` T) -> (J` A) e. (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.)))
15	10, 14	mpd 26	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.))
16		eqid 1475	. . . . . 6 |- (id` T) = (id` T)
17	4, 3, 16, 12	idosc 10702	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (((dom` T)` ((id` T)` A)) = A /\ ((cod` T)` ((id` T)` A)) = A))
18	6	fveq1i 3725	. . . . . . . . 9 |- ((id` T)` A) = (J` A)
19	18	fveq2i 3727	. . . . . . . 8 |- ((dom` T)` ((id` T)` A)) = ((dom` T)` (J` A))
20	19	eqeq1i 1482	. . . . . . 7 |- (((dom` T)` ((id` T)` A)) = A <-> ((dom` T)` (J` A)) = A)
21	20	biimp 151	. . . . . 6 |- (((dom` T)` ((id` T)` A)) = A -> ((dom` T)` (J` A)) = A)
22	21	adantr 389	. . . . 5 |- ((((dom` T)` ((id` T)` A)) = A /\ ((cod` T)` ((id` T)` A)) = A) -> ((dom` T)` (J` A)) = A)
23	17, 22	syl 10	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((dom` T)` (J` A)) = A)
24		catded 10697	. . . . . 6 |- (T e. Cat -> T e. Ded)
25	24	anim1i 334	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (T e. Ded /\ A e. O))
26	8, 3, 5, 12	idosd 10677	. . . . . 6 |- ((T e. Ded /\ A e. O) -> (((dom` T)` (J` A)) = A /\ ((cod` T)` (J` A)) = A))
27		ancom 435	. . . . . 6 |- ((((dom` T)` (J` A)) = A /\ ((cod` T)` (J` A)) = A) <-> (((cod` T)` (J` A)) = A /\ ((dom` T)` (J` A)) = A))
28	26, 27	sylib 198	. . . . 5 |- ((T e. Ded /\ A e. O) -> (((cod` T)` (J` A)) = A /\ ((dom` T)` (J` A)) = A))
29		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((((cod` T)` (J` A)) = A /\ ((dom` T)` (J` A)) = A) -> ((cod` T)` (J` A)) = A)
30	25, 28, 29	3syl 20	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> ((cod` T)` (J` A)) = A)
31	23, 30	opeq12d 2495	. . 3 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>. = <.A, A>.)
32	31	fveq2d 3728	. 2 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (H` <.((dom` T)` (J` A)), ((cod` T)` (J` A))>.) = (H` <.A, A>.))
33	15, 32	eleqtrd 1550	1 |- ((T e. Cat /\ A e. O) -> (J` A) e. (H` <.A, A>.))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  domcdom_ 10644  codccod_ 10645  idcid_ 10646  Dedcded 10667  Catccat 10685  homchom 10713

This theorem is referenced by:  hine 10725  immon 10746

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-alg 10648  df-doma 10649  df-coda 10650  df-ida 10651  df-cmpa 10652  df-ded 10668  df-cat 10686  df-hom 10714

Copyright terms: Public domain