Theorem homulclt 9680

Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator.

Assertion

Ref	Expression
homulclt	|- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T):H~-->H~)

Proof of Theorem homulclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulclt 8878	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (T` x) e. H~) -> (A .h (T` x)) e. H~)
2		ffvelrn 3820	. . . . . 6 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
3	1, 2	sylan2 453	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ (T:H~-->H~ /\ x e. H~)) -> (A .h (T` x)) e. H~)
4	3	anassrs 443	. . . 4 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (A .h (T` x)) e. H~)
5	4	r19.21aiva 1717	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> A.x e. H~ (A .h (T` x)) e. H~)
6		eqid 1478	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))}
7	6	fopab2 3829	. . 3 |- (A.x e. H~ (A .h (T` x)) e. H~ <-> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))}:H~-->H~)
8	5, 7	sylib 198	. 2 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))}:H~-->H~)
9		hommvalt 9507	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))})
10	9	feq1d 3630	. 2 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> ((A .op T):H~-->H~ <-> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))}:H~-->H~))
11	8, 10	mpbird 196	1 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T):H~-->H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  H~chil 8783   .h csm 8785   .op chot 8803

This theorem is referenced by:  honegsub 9717  homulid2t 9721  homco1t 9722  homulasst 9723  hoadddit 9724  hoadddirt 9725  hosubnegt 9728  hosubdit 9729  honegsubdit 9731  honegsubdi2t 9732  hosub4t 9734  hosubsub4t 9739  hosubeq0 9747  nmopneg 9884  homco2t 9896  lnopm 9920  hmopmt 9941  nmophm 9956  adjmult 10020

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvmul 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-homul 9502

Copyright terms: Public domain