Theorem honegsub 9722

Description: Relationship between Hilbert operator addition and subtraction.

Hypotheses

Ref	Expression
hodseq.2	|- S:H~-->H~
hodseq.3	|- T:H~-->H~

Assertion

Ref	Expression
honegsub	|- (S +op (-u1 .op T)) = (S -op T)

Proof of Theorem honegsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubvalt 8886	. . . . . 6 |- (((S` x) e. H~ /\ (T` x) e. H~) -> ((S` x) -h (T` x)) = ((S` x) +h (-u1 .h (T` x))))
2		hodseq.2	. . . . . . 7 |- S:H~-->H~
3	2	ffvelrni 3815	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (S` x) e. H~)
4		hodseq.3	. . . . . . 7 |- T:H~-->H~
5	4	ffvelrni 3815	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (T` x) e. H~)
6	1, 3, 5	sylanc 471	. . . . 5 |- (x e. H~ -> ((S` x) -h (T` x)) = ((S` x) +h (-u1 .h (T` x))))
7		ax1cn 5269	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
8	7	negcl 5369	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
9		homvalt 9518	. . . . . . 7 |- ((-u1 e. CC /\ T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((-u1 .op T)` x) = (-u1 .h (T` x)))
10	8, 4, 9	mp3an12 906	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> ((-u1 .op T)` x) = (-u1 .h (T` x)))
11	10	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (x e. H~ -> ((S` x) +h ((-u1 .op T)` x)) = ((S` x) +h (-u1 .h (T` x))))
12	6, 11	eqtr4d 1510	. . . 4 |- (x e. H~ -> ((S` x) -h (T` x)) = ((S` x) +h ((-u1 .op T)` x)))
13		hodvalt 9519	. . . . 5 |- ((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((S -op T)` x) = ((S` x) -h (T` x)))
14	2, 4, 13	mp3an12 906	. . . 4 |- (x e. H~ -> ((S -op T)` x) = ((S` x) -h (T` x)))
15		homulclt 9685	. . . . . 6 |- ((-u1 e. CC /\ T:H~-->H~) -> (-u1 .op T):H~-->H~)
16	8, 4, 15	mp2an 697	. . . . 5 |- (-u1 .op T):H~-->H~
17		hosvalt 9516	. . . . 5 |- ((S:H~-->H~ /\ (-u1 .op T):H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((S +op (-u1 .op T))` x) = ((S` x) +h ((-u1 .op T)` x)))
18	2, 16, 17	mp3an12 906	. . . 4 |- (x e. H~ -> ((S +op (-u1 .op T))` x) = ((S` x) +h ((-u1 .op T)` x)))
19	12, 14, 18	3eqtr4rd 1518	. . 3 |- (x e. H~ -> ((S +op (-u1 .op T))` x) = ((S -op T)` x))
20	19	rgen 1698	. 2 |- A.x e. H~ ((S +op (-u1 .op T))` x) = ((S -op T)` x)
21	2, 16	hoaddcl 9694	. . 3 |- (S +op (-u1 .op T)):H~-->H~
22	2, 4	hosubcl 9695	. . 3 |- (S -op T):H~-->H~
23	21, 22	hoeq 9687	. 2 |- (A.x e. H~ ((S +op (-u1 .op T))` x) = ((S -op T)` x) <-> (S +op (-u1 .op T)) = (S -op T))
24	20, 23	mpbi 189	1 |- (S +op (-u1 .op T)) = (S -op T)

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235  -ucneg 5293  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790   -h cmv 8792   +op chos 8807   .op chot 8808   -op chod 8809

This theorem is referenced by:  honegsubt 9725  hosubeq0 9752  lnophd 9927  bdophd 10030  nmoptri2 10032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-hvsub 8840  df-hosum 9506  df-homul 9507  df-hodif 9508

Copyright terms: Public domain