Theorem hsn0elch 9059

Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
hsn0elch	|- {0h} e. CH

Proof of Theorem hsn0elch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 9032	. 2 |- ({0h} e. CH <-> ({0h} e. SH /\ A.fA.x((f:NN-->{0h} /\ f ~~>v x) -> x e. {0h})))
2		sh 9017	. . 3 |- ({0h} e. SH <-> (({0h} (_ H~ /\ 0h e. {0h}) /\ (A.x e. {0h}A.y e. {0h} (x +h y) e. {0h} /\ A.x e. CC A.y e. {0h} (x .h y) e. {0h})))
3		ax-hv0cl 8812	. . . . 5 |- 0h e. H~
4		snssi 2462	. . . . 5 |- (0h e. H~ -> {0h} (_ H~)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- {0h} (_ H~
6	3	elisseti 1814	. . . . 5 |- 0h e. V
7	6	snid 2431	. . . 4 |- 0h e. {0h}
8	5, 7	pm3.2i 285	. . 3 |- ({0h} (_ H~ /\ 0h e. {0h})
9		opreq12 3961	. . . . . . . 8 |- ((x = 0h /\ y = 0h) -> (x +h y) = (0h +h 0h))
10	3	hvaddid2 8837	. . . . . . . 8 |- (0h +h 0h) = 0h
11	9, 10	syl6eq 1520	. . . . . . 7 |- ((x = 0h /\ y = 0h) -> (x +h y) = 0h)
12		oprex 3974	. . . . . . . 8 |- (x +h y) e. V
13	12	elsnc 2427	. . . . . . 7 |- ((x +h y) e. {0h} <-> (x +h y) = 0h)
14	11, 13	sylibr 200	. . . . . 6 |- ((x = 0h /\ y = 0h) -> (x +h y) e. {0h})
15		elsn 2417	. . . . . 6 |- (x e. {0h} <-> x = 0h)
16		elsn 2417	. . . . . 6 |- (y e. {0h} <-> y = 0h)
17	14, 15, 16	syl2anb 455	. . . . 5 |- ((x e. {0h} /\ y e. {0h}) -> (x +h y) e. {0h})
18	17	rgen2a 1696	. . . 4 |- A.x e. {0h}A.y e. {0h} (x +h y) e. {0h}
19		opreq2 3960	. . . . . . . 8 |- (y = 0h -> (x .h y) = (x .h 0h))
20		hvmul0t 8832	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> (x .h 0h) = 0h)
21	19, 20	sylan9eqr 1526	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y = 0h) -> (x .h y) = 0h)
22		oprex 3974	. . . . . . . 8 |- (x .h y) e. V
23	22	elsnc 2427	. . . . . . 7 |- ((x .h y) e. {0h} <-> (x .h y) = 0h)
24	21, 23	sylibr 200	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y = 0h) -> (x .h y) e. {0h})
25	24, 16	sylan2b 452	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. {0h}) -> (x .h y) e. {0h})
26	25	rgen2 1720	. . . 4 |- A.x e. CC A.y e. {0h} (x .h y) e. {0h}
27	18, 26	pm3.2i 285	. . 3 |- (A.x e. {0h}A.y e. {0h} (x +h y) e. {0h} /\ A.x e. CC A.y e. {0h} (x .h y) e. {0h})
28	2, 8, 27	mpbir2an 729	. 2 |- {0h} e. SH
29		visset 1809	. . . . . . 7 |- x e. V
30		visset 1809	. . . . . . 7 |- f e. V
31	6, 29, 30	hlimuni 9048	. . . . . 6 |- ((f ~~>v 0h /\ f ~~>v x) -> 0h = x)
32	31	eleq1d 1537	. . . . 5 |- ((f ~~>v 0h /\ f ~~>v x) -> (0h e. {0h} <-> x e. {0h}))
33	6	fconst2 3838	. . . . . 6 |- (f:NN-->{0h} <-> f = (NN X. {0h}))
34		hlim0 9044	. . . . . . 7 |- (NN X. {0h}) ~~>v 0h
35		breq1 2617	. . . . . . 7 |- (f = (NN X. {0h}) -> (f ~~>v 0h <-> (NN X. {0h}) ~~>v 0h))
36	34, 35	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (f = (NN X. {0h}) -> f ~~>v 0h)
37	33, 36	sylbi 199	. . . . 5 |- (f:NN-->{0h} -> f ~~>v 0h)
38	32, 37	sylan 448	. . . 4 |- ((f:NN-->{0h} /\ f ~~>v x) -> (0h e. {0h} <-> x e. {0h}))
39	7, 38	mpbii 193	. . 3 |- ((f:NN-->{0h} /\ f ~~>v x) -> x e. {0h})
40	39	gen2 981	. 2 |- A.fA.x((f:NN-->{0h} /\ f ~~>v x) -> x e. {0h})
41	1, 28, 40	mpbir2an 729	1 |- {0h} e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   (_ wss 2043  {csn 2405   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  -->wf 3173  (class class class)co 3954  CCcc 5212  NNcn 5276  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730   ~~>v chli 8735  SHcsh 8736  CHcch 8737

This theorem is referenced by:  h0elch 9066  h1de2ctlem 9417

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-sh 9015  df-ch 9031

Copyright terms: Public domain