Theorem hst1ht 10110

Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals one iff the state value equals the state value of the lattice unit.

Assertion

Ref	Expression
hst1ht	|- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 <-> (S` A) = (S` H~)))

Proof of Theorem hst1ht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstclt 10100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((S e. CHStates /\ (_|_` A) e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
2		chocclt 9139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. CH -> (_|_` A) e. CH)
3	1, 2	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
4		normclt 8946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S` (_|_` A)) e. H~ -> (normh` (S` (_|_` A))) e. RR)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` (_|_` A))) e. RR)
6		resqclt 6566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` (S` (_|_` A))) e. RR -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. RR)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. RR)
8	7	recnd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. CC)
9		ax1cn 5252	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
10		pncan2t 5381	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. CC /\ ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. CC) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
11	9, 10	mpan 694	. . . . . . . . . . 11 |- (((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. CC -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
12	8, 11	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
14		opreq1 3963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` (S` A)) = 1 -> ((normh` (S` A))^2) = (1^2))
15		sq1 6582	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1^2) = 1
16	14, 15	syl6req 1522	. . . . . . . . . . . 12 |- ((normh` (S` A)) = 1 -> 1 = ((normh` (S` A))^2))
17	16	opreq1d 3970	. . . . . . . . . . 11 |- ((normh` (S` A)) = 1 -> (1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) = (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)))
18		hstnmoct 10106	. . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) = 1)
19	17, 18	sylan9eqr 1527	. . . . . . . . . 10 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> (1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) = 1)
20	19	opreq1d 3970	. . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = (1 - 1))
21	13, 20	eqtr3d 1507	. . . . . . . 8 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) = (1 - 1))
22	9	subid 5374	. . . . . . . 8 |- (1 - 1) = 0
23	21, 22	syl6eq 1521	. . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0)
24	23	ex 373	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0))
25	5	recnd 5298	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` (_|_` A))) e. CC)
26		sqeq0t 6558	. . . . . . . 8 |- ((normh` (S` (_|_` A))) e. CC -> (((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0 <-> (normh` (S` (_|_` A))) = 0))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0 <-> (normh` (S` (_|_` A))) = 0))
28		norm-it 8951	. . . . . . . 8 |- ((S` (_|_` A)) e. H~ -> ((normh` (S` (_|_` A))) = 0 <-> (S` (_|_` A)) = 0h))
29	3, 28	syl 10	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` A))) = 0 <-> (S` (_|_` A)) = 0h))
30	27, 29	bitrd 527	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0 <-> (S` (_|_` A)) = 0h))
31	24, 30	sylibd 202	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 -> (S` (_|_` A)) = 0h))
32	31	imp 350	. . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> (S` (_|_` A)) = 0h)
33	32	opreq2d 3971	. . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = ((S` A) +h 0h))
34		hstoct 10105	. . . 4 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = (S` H~))
35	34	adantr 389	. . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = (S` H~))
36		hstclt 10100	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)
37		ax-hvaddid 8829	. . . . 5 |- ((S` A) e. H~ -> ((S` A) +h 0h) = (S` A))
38	36, 37	syl 10	. . . 4 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) +h 0h) = (S` A))
39	38	adantr 389	. . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((S` A) +h 0h) = (S` A))
40	33, 35, 39	3eqtr3rd 1514	. 2 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> (S` A) = (S` H~))
41		fveq2 3719	. . 3 |- ((S` A) = (S` H~) -> (normh` (S` A)) = (normh` (S` H~)))
42		hst1t 10101	. . . 4 |- (S e. CHStates -> (normh` (S` H~)) = 1)
43	42	adantr 389	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` H~)) = 1)
44	41, 43	sylan9eqr 1527	. 2 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (S` A) = (S` H~)) -> (normh` (S` A)) = 1)
45	40, 44	impbida 518	1 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 <-> (S` A) = (S` H~)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   - cmin 5275  2c2 5918  ^cexp 6513  H~chil 8743   +h cva 8744  0hc0v 8746  normhcno 8749  CHcch 8753  _|_cort 8754  CHStateschst 8787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907  ax-hcompl 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus