Theorem hstclt 10139

Description: Closure of the value of a Hilbert-space-valued state.

Assertion

Ref	Expression
hstclt	|- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)

Proof of Theorem hstclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. 2 |- ((S:CH-->H~ /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)
2		hstelt 10137	. . 3 |- (S e. CHStates <-> (S:CH-->H~ /\ (normh` (S` H~)) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (((S` x) .ih (S` y)) = 0 /\ (S` (x vH y)) = ((S` x) +h (S` y))))))
3		3simp1 790	. . 3 |- ((S:CH-->H~ /\ (normh` (S` H~)) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (((S` x) .ih (S` y)) = 0 /\ (S` (x vH y)) = ((S` x) +h (S` y))))) -> S:CH-->H~)
4	2, 3	sylbi 199	. 2 |- (S e. CHStates -> S:CH-->H~)
5	1, 4	sylan 450	1 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  0cc0 5246  1c1 5247  H~chil 8783   +h cva 8784   .ih csp 8788  normhcno 8789  CHcch 8793  _|_cort 8794   vH chj 8797  CHStateschst 8827

This theorem is referenced by:  hstnmoct 10145  hstle1t 10148  hst1ht 10149  hst0ht 10150  hstpytht 10151  hstlet 10152  hstlest 10153  hstoht 10154  hstrlem6 10186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-sh 9071  df-ch 9087  df-hst 10135

Copyright terms: Public domain