Theorem hstoht 10115

Description: A Hilbert-space-valued state orthogonal to the state of the lattice unit is zero.

Assertion

Ref	Expression
hstoht	|- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (S` A) = 0h)

Proof of Theorem hstoht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his7t 8911	. . . . . . . 8 |- (((S` A) e. H~ /\ (S` A) e. H~ /\ (S` (_|_` A)) e. H~) -> ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))) = (((S` A) .ih (S` A)) + ((S` A) .ih (S` (_|_` A)))))
2		hstclt 10100	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)
3		hstclt 10100	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ (_|_` A) e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
4		chocclt 9139	. . . . . . . . 9 |- (A e. CH -> (_|_` A) e. CH)
5	3, 4	sylan2 451	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
6	1, 2, 2, 5	syl3anc 857	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))) = (((S` A) .ih (S` A)) + ((S` A) .ih (S` (_|_` A)))))
7		normsqt 8956	. . . . . . . . . 10 |- ((S` A) e. H~ -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih (S` A)))
8	2, 7	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih (S` A)))
9	8	eqcomd 1478	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih (S` A)) = ((normh` (S` A))^2))
10		ococt 9203	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CH -> (_|_` (_|_` A)) = A)
11		eqimss2 2107	. . . . . . . . . . . 12 |- ((_|_` (_|_` A)) = A -> A (_ (_|_` (_|_` A)))
12	10, 11	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CH -> A (_ (_|_` (_|_` A)))
13	4, 12	jca 288	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CH -> ((_|_` A) e. CH /\ A (_ (_|_` (_|_` A))))
14	13	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((_|_` A) e. CH /\ A (_ (_|_` (_|_` A))))
15		hstortht 10103	. . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ ((_|_` A) e. CH /\ A (_ (_|_` (_|_` A)))) -> ((S` A) .ih (S` (_|_` A))) = 0)
16	14, 15	mpdan 703	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih (S` (_|_` A))) = 0)
17	9, 16	opreq12d 3973	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((S` A) .ih (S` A)) + ((S` A) .ih (S` (_|_` A)))) = (((normh` (S` A))^2) + 0))
18		normclt 8946	. . . . . . . . . . 11 |- ((S` A) e. H~ -> (normh` (S` A)) e. RR)
19	2, 18	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` A)) e. RR)
20		resqclt 6566	. . . . . . . . . 10 |- ((normh` (S` A)) e. RR -> ((normh` (S` A))^2) e. RR)
21	19, 20	syl 10	. . . . . . . . 9 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) e. RR)
22	21	recnd 5298	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) e. CC)
23		ax0id 5264	. . . . . . . 8 |- (((normh` (S` A))^2) e. CC -> (((normh` (S` A))^2) + 0) = ((normh` (S` A))^2))
24	22, 23	syl 10	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + 0) = ((normh` (S` A))^2))
25	6, 17, 24	3eqtrrd 1510	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))))
26		hstoct 10105	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = (S` H~))
27	26	opreq2d 3971	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) .ih ((S` A) +h (S` (_|_` A)))) = ((S` A) .ih (S` H~)))
28	25, 27	eqtrd 1505	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A))^2) = ((S` A) .ih (S` H~)))
29		id 59	. . . . 5 |- (((S` A) .ih (S` H~)) = 0 -> ((S` A) .ih (S` H~)) = 0)
30	28, 29	sylan9eq 1525	. . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> ((normh` (S` A))^2) = 0)
31	30	3impa 827	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> ((normh` (S` A))^2) = 0)
32	19	recnd 5298	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` A)) e. CC)
33		sqeq0t 6558	. . . . 5 |- ((normh` (S` A)) e. CC -> (((normh` (S` A))^2) = 0 <-> (normh` (S` A)) = 0))
34	32, 33	syl 10	. . . 4 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) = 0 <-> (normh` (S` A)) = 0))
35	34	3adant3 798	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (((normh` (S` A))^2) = 0 <-> (normh` (S` A)) = 0))
36	31, 35	mpbid 195	. 2 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (normh` (S` A)) = 0)
37		hst0ht 10111	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 0 <-> (S` A) = 0h))
38	37	3adant3 798	. 2 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> ((normh` (S` A)) = 0 <-> (S` A) = 0h))
39	36, 38	mpbid 195	1 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH /\ ((S` A) .ih (S` H~)) = 0) -> (S` A) = 0h)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2044  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217   + caddc 5220  2c2 5918  ^cexp 6513  H~chil 8743   +h cva 8744  0hc0v 8746   .ih csp 8748  normhcno 8749  CHcch 8753  _|_cort 8754  CHStateschst 8787

This theorem is referenced by:  hst0t 10116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-reg 4576  ax-inf2 4608  ax-ac 4727  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907  ax-hcompl 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-iin 2565  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-map 4317  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-r1 4626  df-rank 4627  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-clim 6928  df-sum 6933  df-top 7552  df-bases 7554  df-topgen 7555  df-cld 7623  df-ntr 7624  df-cls 7625  df-cn 7714  df-cnp 7715  df-haus 7742  df-met 7753  df-bl 7755  df-opn 7756  df-lm 7884  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184  df-ip 8312  df-ph 8431  df-hnorm 8792  df-hvsub 8795  df-hlim 8796  df-hcau 8797  df-sh 9031  df-ch 9047  df-oc 9079  df-ch0 9080  df-shsum 9228  df-chj 9230  df-hst 10096

Copyright terms: Public domain