HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstri Unicode version

Theorem hstri 22770
Description: Hilbert space admits a strong set of Hilbert-space-valued states (CH-states). Theorem in [Mayet3] p. 10. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hstr.1  |-  A  e. 
CH
hstr.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
hstri  |-  ( A. f  e.  CHStates  ( ( normh `  ( f `  A ) )  =  1  ->  ( normh `  ( f `  B
) )  =  1 )  ->  A  C_  B
)
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem hstri
StepHypRef Expression
1 dfral2 2526 . 2  |-  ( A. f  e.  CHStates  ( ( normh `  ( f `  A ) )  =  1  ->  ( normh `  ( f `  B
) )  =  1 )  <->  -.  E. f  e. 
CHStates  -.  ( ( normh `  ( f `  A
) )  =  1  ->  ( normh `  (
f `  B )
)  =  1 ) )
2 hstr.1 . . . . 5  |-  A  e. 
CH
3 hstr.2 . . . . 5  |-  B  e. 
CH
42, 3strlem1 22755 . . . 4  |-  ( -.  A  C_  B  ->  E. u  e.  ( A 
\  B ) (
normh `  u )  =  1 )
5 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  |->  ( (
proj  h `  x ) `
 u ) )  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )
6 biid 229 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  <->  ( u  e.  ( A  \  B
)  /\  ( normh `  u )  =  1 ) )
75, 6, 2, 3hstrlem3 22766 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) )  e.  CHStates )
85, 6, 2, 3hstrlem6 22769 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  -.  ( ( normh `  (
( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) ) `  A
) )  =  1  ->  ( normh `  (
( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) ) `  B
) )  =  1 ) )
9 fveq1 5422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( f `  A
)  =  ( ( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x
) `  u )
) `  A )
)
109fveq2d 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( normh `  ( f `  A ) )  =  ( normh `  ( (
x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x
) `  u )
) `  A )
) )
1110eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( ( normh `  (
f `  A )
)  =  1  <->  ( normh `  ( ( x  e.  CH  |->  ( (
proj  h `  x ) `
 u ) ) `
 A ) )  =  1 ) )
12 fveq1 5422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( f `  B
)  =  ( ( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x
) `  u )
) `  B )
)
1312fveq2d 5427 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( normh `  ( f `  B ) )  =  ( normh `  ( (
x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x
) `  u )
) `  B )
) )
1413eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( ( normh `  (
f `  B )
)  =  1  <->  ( normh `  ( ( x  e.  CH  |->  ( (
proj  h `  x ) `
 u ) ) `
 B ) )  =  1 ) )
1511, 14imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( ( ( normh `  ( f `  A
) )  =  1  ->  ( normh `  (
f `  B )
)  =  1 )  <-> 
( ( normh `  (
( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) ) `  A
) )  =  1  ->  ( normh `  (
( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) ) `  B
) )  =  1 ) ) )
1615notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e. 
CH  |->  ( ( proj 
h `  x ) `  u ) )  -> 
( -.  ( (
normh `  ( f `  A ) )  =  1  ->  ( normh `  ( f `  B
) )  =  1 )  <->  -.  ( ( normh `  ( ( x  e.  CH  |->  ( (
proj  h `  x ) `
 u ) ) `
 A ) )  =  1  ->  ( normh `  ( ( x  e.  CH  |->  ( (
proj  h `  x ) `
 u ) ) `
 B ) )  =  1 ) ) )
1716rcla4ev 2835 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) )  e.  CHStates  /\  -.  ( ( normh `  (
( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) ) `  A
) )  =  1  ->  ( normh `  (
( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) ) `  B
) )  =  1 ) )  ->  E. f  e. 
CHStates  -.  ( ( normh `  ( f `  A
) )  =  1  ->  ( normh `  (
f `  B )
)  =  1 ) )
187, 8, 17syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  E. f  e.  CHStates  -.  (
( normh `  ( f `  A ) )  =  1  ->  ( normh `  ( f `  B
) )  =  1 ) )
1918rexlimiva 2633 . . . 4  |-  ( E. u  e.  ( A 
\  B ) (
normh `  u )  =  1  ->  E. f  e. 
CHStates  -.  ( ( normh `  ( f `  A
) )  =  1  ->  ( normh `  (
f `  B )
)  =  1 ) )
204, 19syl 17 . . 3  |-  ( -.  A  C_  B  ->  E. f  e.  CHStates  -.  (
( normh `  ( f `  A ) )  =  1  ->  ( normh `  ( f `  B
) )  =  1 ) )
2120con1i 123 . 2  |-  ( -. 
E. f  e.  CHStates  -.  ( ( normh `  (
f `  A )
)  =  1  -> 
( normh `  ( f `  B ) )  =  1 )  ->  A  C_  B )
221, 21sylbi 189 1  |-  ( A. f  e.  CHStates  ( ( normh `  ( f `  A ) )  =  1  ->  ( normh `  ( f `  B
) )  =  1 )  ->  A  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517    \ cdif 3091    C_ wss 3094    e. cmpt 4017   ` cfv 4638   1c1 8671   normhcno 21428   CHcch 21434   proj  hcpjh 21442   CHStateschst 21468
This theorem is referenced by:  hstrbi  22771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cc 7994  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589  ax-hcompl 21706
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-lm 16886  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cfil 18608  df-cau 18609  df-cmet 18610  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-subgo 20894  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-dip 21199  df-ssp 21223  df-ph 21316  df-cbn 21367  df-hnorm 21473  df-hba 21474  df-hvsub 21476  df-hlim 21477  df-hcau 21478  df-sh 21711  df-ch 21726  df-oc 21756  df-ch0 21757  df-shs 21812  df-chj 21814  df-pjh 21899  df-hst 22717
  Copyright terms: Public domain W3C validator